מהו מספר שלם קטן n כך n! = md cdot 10 ^ (2016)?

תשובה:

# n = 8075 #

הסבר:

תן #v_p (k) # להיות ריבוי # p # כגורם של # k #. זה, #v_p (k) # הוא המספר השלם הגדול ביותר כך # p ^ (v_p (k)) k #.

תצפיות:

• לכל #k ב- ZZ ^ + # ו # p # פריים, יש לנו #v_p (k!) = sum_ (i = 1) ^ k v_p (i) #

  (זה יכול בקלות להוכיח על ידי אינדוקציה)

• עבור מספר שלם #k> 1 #, יש לנו # v_2 (k!)> v_5 (k!) #.

  (זה אינטואיטיבי, כמו כפולות של כוחות #2# מתרחשות לעתים תכופות יותר מכפולות של כוחות מקבילים #5#, וניתן להוכחה בקפדנות באמצעות טיעון דומה)

• ל #j, k ב- ZZ ^ + #, יש לנו #j | k <=> v_p (j) <= v_p (k) # עבור כל מחלק הממשלה # p # of # j #.

ההמשך, המטרה שלנו היא למצוא את מספר שלם לפחות # n # כך ש # 10 ^ 2016 | n! #. כפי ש # 10 ^ 2016 = 2 ^ 2016xx5 ^ 2016 #, ולאחר מכן על ידי התצפית השלישית, אנחנו צריכים רק לאשר את זה # 2016 <= v_2 (n!) # ו # 2016 <= v_5 (n!) #. התצפית השנייה אומרת כי האחרון מרמז לשעבר. לכן, זה מספיק כדי למצוא את מספר שלם לפחות # n # כך ש # v_5 (n!) = sum_ (i = 1) ^ nv_5 (i)> = 2016 #.

למצוא # n # אנו נעשה תצפית אשר תאפשר לנו לחשב # v_5 (5 ^ k!) #.

בין #1# ו # 5 ^ k #, יש # 5 ^ k / 5 # מכפילי #5#, שכל אחד מהם תורם לפחות #1# לסכום #sum_ (i = 1) ^ (5 ^ k) v_5 (i) #. יש גם # 5 ^ k / 25 # מכפילי #25#, שכל אחד מהם תורם נוסף #1# לסכום לאחר הספירה הראשונית. אנחנו יכולים להמשיך כך עד שנגיע למספר אחד של # 5 ^ k # (שהוא # 5 ^ k # עצמה), אשר תרמה # k # פעמים לסכום. חישוב הסכום בצורה זו, יש לנו

(i = 1) ^ (k) 5 ^ k / 5 ^ i = sum_ (i = 1) (v = 5) ^ k5 ^ (ki) = sum_ (i = 0) ^ (k-1) 5 ^ i = (5 ^ k-1) / (5-1) #

כך אנו מוצאים זאת # v_5 (5 ^ k!) = (5 ^ k-1) / 4 #

לבסוף, נמצא # n # כך ש # v_5 (n!) = 2016 #. אם נחשב # v_5 (5 ^ k!) # עבור מספר ערכים של # k #, אנחנו מוצאים

# v_5 (5 ^ 1) = 1 #

# v_5 (5 ^ 2) = 6 #

# v_5 (5 ^ 3) = 31 #

# v_5 (5 ^ 4) = 156 #

# v_5 (5 ^ 5) = 781 #

כפי ש #2016 = 2(781)+2(156)+4(31)+3(6)#, # n # צריך שני "בלוקים" של #5^5#, שתיים מ #5^4#, ארבעה #5^3#, ושלושה #5^2#. כך אנו מקבלים

# n = 2 (5 ^ 5) +2 (5 ^ 4) +4 (5 ^ 3) +3 (5 ^ 2) = 8075 #

מחשב יכול לאמת זאת במהירות #sum_ (i = 1) ^ (8075) v_5 (i) = 2016 #. לכן #10^2016 | 8075!#, וכמו #5|8075!# עם ריבוי #2016# ו #5|8075#, ברור כי לא יהיה מספיק ערך מספיק.