שאלה # e8ab5

תשובה:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

הסבר:

ראשית, זוכר מה #cos (x + y) # J

#cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #

שים לב ש:

# (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 #

# -> חטא ^ 2x + 2sinxsiny + חטא ^ 2y = a ^ 2 #

Flights you

# (cosx + cozy) ^ 2 = b ^ 2 #

# -> cos ^ 2x + 2 cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

עכשיו יש לנו שתי משוואות אלה:

# sin + 2x + 2sinxsiny + sin = 2y = a ^ 2 #

# cos ^ 2x + 2 cosxcosy + cos ^ 2y = b ^ 2 #

אם נוסיף אותם יחד, יש לנו:

# חטא ^ 2x + 2sinxsiny + חטא ^ 2y + cos ^ 2x + 2 cosxcosy + cos ^ 2y = a ^ 2 + b ^ 2 #

אל תתנו לגודל של משוואה זו לזרוק אותך. חפש זהויות ופישוטים:

# (חטא ^ 2x + cos ^ 2x) + (2sinxsiny + 2cosxcosy) + (cos ^ 2y + חטא ^ 2y) = a ^ 2 + b ^ 2 #

מאז # חטא ^ 2x + cos ^ 2x = 1 # (זהות פיתגורס) ו # cos ^ 2y + sin = 2y = 1 # (זהות פיתגורס), אנו יכולים לפשט את המשוואה ל:

# 1 + (2sinxsiny + 2 cosxcosy) + 1 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> (2sinxsiny + 2cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

אנחנו יכולים גורם #2# פעמיים:

# 2 (sinxsiny + cosxcosy) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# -> 2 ((sinxsiny + cosxcosy) +1 = a ^ 2 + b ^ 2 #

וחלק:

# (sinxsiny + cosxcosy) + 1 = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2 #

וחסר:

# sinxsiny + cosxcosy = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

לבסוף, מאז #cos (x + y) = cosxcosy + sinxsiny #, יש לנו:

#cos (x + y) = (a ^ 2 + b ^ 2) / 2-1 #

בהתחשב

# sinx + siny = a ……. (1) #

# cosx + cozy = b ……. (2) #

ריבוע והוספה (1) & (2)

# (cosx + cozy) ^ 2 + (sinx + siny) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2 (cosxcosy + sinxsiny) + 2 = a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 …. (3) #

ריבוע וחיסור (1) מ (2)

# (cosx + cozy) ^ 2 (sinx + siny) ^ 2 = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos ^ 2x-sin = 2x + cos ^ 2y-sin ^ 2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + cos2x + cos2y = b ^ 2-a ^ 2 #

# => 2cos (x + y) + 2cos (x + y) cos (x-y) = b ^ 2-a ^ 2 #

# = cos (x + y) (2 + 2 cos (x-y)) = b ^ 2-a ^ 2 #

(# "מ (3)" 2cos (x-y) = a ^ 2 + b ^ 2-2 #)

# = cos (x + y) (2 + b ^ 2 + a ^ 2-2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# = cos (x + y) (b ^ 2 + a ^ 2) = b ^ 2-a ^ 2 #

# = cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #

תשובה:

#cos (x + y) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

הסבר:

# xxx + siny = a rRrr 2sin (x + y) / 2) cos (x-y) / 2) = a ……… (1) #.

# cosx + cozy = b rRrr 2cos (x + y) / 2) cos (x-y) / 2) = b ………. (2) #.

מחלקים #(1)# על ידי #(2)#, יש לנו, #tan ((x + y) / 2) = a / b #.

עכשיו, #cos (x + y) = {1-tan ^ 2 (x + y) / 2)} / {1 + tan ^ 2 ((x + y / 2)} #

# (1-a ^ 2 / b ^ 2) / (1 + a ^ 2 / b ^ 2) = (b ^ 2-a ^ 2) / (b ^ 2 + a ^ 2) #.

תהנה מתמטיקה.!