איך כותבים את האינטגרל המובהק כדי למצוא את הקטע הקטן יותר מהמעגל x ^ 2 + y ^ 2 = 25 על ידי הקו x = 3?

תשובה:

האינטגרל המובהק הוא # 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #.

הסבר:

תמיד יש דרכים רבות להתקרב בעיות אינטגרציה, אבל זה איך אני פתר את זה:

אנו יודעים כי המשוואה עבור המעגל שלנו היא:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 25 #

משמעות הדבר היא כי עבור כל #איקס# ערך אנו יכולים לקבוע את השניים # y # ערכים מעל ומתחת לנקודה זו על ציר x באמצעות:

# y ^ 2 = 25 - x ^ 2 #

#y = sqrt (25-x ^ 2) #

אם אנו מדמיינים כי קו נמשך מהחלק העליון של המעגל לתחתית עם קבוע #איקס# ערך בכל נקודה, זה יהיה אורך של פעמיים # y # הערך שניתן על ידי המשוואה לעיל.

# r = 2sqrt (25 - x ^ 2) #

מכיוון שאנו מעוניינים באזור שבין הקו #x = 3 # ואת הקצה של המעגל ב #x = 5 #, אלה יהיו הגבולות האינטגרליים שלנו. מנקודה זו ואילך, כתיבת האינטגרל המובהק פשוטה:

#A = int_3 ^ 5rdx = 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #

תשובה:

כחלופה, בקוטב

# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #

הסבר:

אתה יכול לעשות את זה גם בקוטב

המעגל בקוטב הוא r = 5 ושימוש בניסוח הפשוט ביותר של השטח #A = 1/2 int r ^ 2 (psi) d psi # הופך, באמצעות הסימטריה על ציר x

# A = 2 פעמים (1/2 int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} 5 ^ 2 d psi - צבע {red} {1/2 * 3 * 4}) #

שבו הסיבית האדומה מוצגת בצל אדום על הציור

# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #

# = 25 psi _ {0} ^ {arcsin (4/5)} - 12 #

# = 25 arcsin (4/5) - 12 #