איך אני יכול לשלב את זה?

תשובה:

# (L (2) x) (3xin (3x) + ln (2) cos (3x)) /) (ln (2)) ^ 2 + 3 ^ 2) + C #

הסבר:

אנחנו רוצים לפתור

# I = int2 ^ xcos (3x) dx = inte ^ (ln (2) x) cos (3x) dx #

בואו ננסה את הבעיה הכללית יותר

# I_1 = inte ^ (גרזן) cos (bx) dx #

איפה אנחנו מחפשים את הפתרון

# (I ^ =) e (גרזן) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

הטריק הוא להשתמש באינטגרציה על ידי חלקים פעמיים

# intudv = uv-intvdu #

תן # u = e ^ (ax) # ו # dv = cos (bx) dx #

לאחר מכן # du = ae ^ (ax) dx # ו # v = 1 / bsin (bx) #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) חטא (bx) - / binte ^ (ax) חטא (bx) dx #

החל אינטגרציה על ידי חלקים אינטגרלי הנותרים

# I_2 = a / binte ^ (ax) sin (bx) dx #

תן # u = e ^ (ax) # ו # dv = sin (bx) dx #

לאחר מכן # du = ae ^ (ax) dx # ו # v = -1 / bcos (bx) #

# I_2 = a / b (-1 / be ^ (ax) cos (bx) + a / binte ^ (ax) cos (bx) dx #

# # - a / b ^ 2e ^ (cx) (bx) + a ^ 2 / b ^ 2inte ^ (ax) cos (bx) dx #

# = - a / b ^ 2e ^ (c) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

תחליף את זה לתוך אינטגרל המקורי לפתור עבור # I_1 #, זה קצת ארוך, אבל אנחנו לוקחים את זה צעד אחר צעד

# I = = 1 / be ^ (ax) חטא (bx) - (- a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + a ^ 2 / b ^ 2I_1) # #

# I_1 = 1 / be ^ (ax) חטא (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) -a ^ 2 / b ^ 2I_1 #

# I_1 + a ^ 2 / b ^ 2I_1 = 1 / be ^ (ax) sin (bx) + a / b ^ 2e ^ (ax) cos (bx) + C #

(bx) + b ^ 2e ^ (c) (bx) + C # (b +) + b ^ 2e ^

# 1 + / b ^ 2e ^ (גרזן) cos (bx)) + C # (+ b + 2)

# (+) ^ (+ ^ ^ + ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^)

# (I ^ =) e (גרזן) (bsin (bx) + acos (bx))) / (a ^ 2 + b ^ 2) + C #

עבור הבעיה שלך # a l = ln (2) # ו # b = 3 #

# (L (2) x) (3xin (3x) + ln (2) cos (3x)) /) (ln (2)) ^ 2 + 9) + C #

אני מקווה שאין הרבה טעויות

ראו את התשובה הבאה: פתרנו באמצעות אלמנטים נפרדים במקום ניסוח כללי ולא פישטנו את התוצאה הסופית, כדלקמן: