הראה את זה 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... כדי אינסוף = 3 ^ (3/4).

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

# 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) cdots = 3 ^ (1/3) xx 3 ^ (2/9) xx 3 ^ (3/27) cdots = 3 (1/3 + 2/9 + 3/27 + cdots + n / 3 ^ n + cdots) = 3 ^ S #

עם

#S = sum_ (k = 1) ^ oo n / 3 ^ n =? #

אנחנו יודעים את זה #sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x d / (dx) sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k #

וגם בשביל זה #abs x <1 #

#sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k = 1 / (1-x) -1 # ו # 1 (1 / x) (1 / x) = 1 / (1-x) ^ 2 # לאחר מכן

#sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x / (1-x) ^ 2 # ועבור #x = 1/3 # יש לנו

#S = 3/4 # ואז לבסוף

# 3 ^ S = 3 ^ (3/4) #