האם הפונקציה יכולה להיות רציפה ולא ניתנת לשינוי על תחום נתון?

האם הפונקציה יכולה להיות רציפה ולא ניתנת לשינוי על תחום נתון?
Anonim

תשובה:

כן.

הסבר:

אחת הדוגמאות הבולטות לכך היא הפונקציה Weierstrass, שהתגלתה על ידי קרל ויירשטראס, שאותה הגדיר במאמר המקורי שלו:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

איפה # 0 <a <1 #, # b # הוא מספר שלם מוזר מוזר #ab> (3pi + 2) / 2 #

זוהי פונקציה קוצנית מאוד, כי הוא רציף בכל מקום על קו ריאלי, אבל בשום מקום אחר.

תשובה:

כן, אם יש לו נקודת "כפוף". דוגמה אחת היא #f (x) = | x | # ב # x_0 = 0 #

הסבר:

פונקציה רציפה למעשה פירושו ציור זה בלי לקחת את העיפרון שלך מן הנייר. מתמטית, זה אומר כי עבור כל # x_0 # הערכים של #f (x_0) # כפי שהם מתקרבים עם קטן עד אין קץ # dx # משמאל ומימין חייב להיות שווה:

# (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

שם סימן מינוס פירושו מתקרב משמאל ומחובר פלוס פירושו מתקרב מימין.

פונקציה נפרדת פירושה למעשה פונקציה המשתנה בהתמדה במדרון שלה (לא בקצב קבוע). לכן, פונקציה שאינה ניתנת לשינוי בנקודת זמן מסוימת פירושה שהיא משנה בבת אחת את המדרון משמאל לנקודה זו מימין.

בואו לראות 2 פונקציות.

#f (x) = x ^ 2 # ב # x_0 = 2 #

תרשים

גרף {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

גרף (מתצוגה)

גרף {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

מאז ב # x_0 = 2 # את הגרף ניתן ליצור מבלי לקחת את העיפרון את הנייר, הפונקציה היא רציפה בשלב זה. מכיוון שהוא אינו כפוף בשלב זה, הוא גם שונה.

#g (x) = | x | # ב # x_0 = 0 #

תרשים

גרף {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

ב # x_0 = 0 # הפונקציה היא רציפה כפי שניתן לצייר אותה מבלי לקחת את העיפרון מהנייר. עם זאת, מאז זה bents בשלב זה, הפונקציה אינה ניתנת לשינוי.