למה אין לך אפס כוח אפס?

זו שאלה ממש טובה. באופן כללי, וברוב המקרים, מתמטיקאים להגדיר #0^0 = 1#.

אבל זאת התשובה הקצרה. שאלה זו נדונה מאז ימי אוילר (כלומר מאות שנים).

אנו יודעים כי כל מספר nonzero העלה #0# כוח שווה #1 #

# n ^ 0 = 1 #

וזה אפס העלה למספר nonzero שווה #0#

# 0 ^ n = 0 #

מתישהו #0^0# מוגדר כבלתי מוגדר, כלומר במקרים מסוימים הוא נראה שווה #1# ואחרים #0.#

שני מקורות שבהם השתמשתי הם:

www.khanacademy.org/math/cc-seventh-grade-math/cc-7th-negative-numbers-multiply-and-divide/cc-7th-exponents-negative-base/v/powers-of- אפס

ובכן, אתה יכול להיות סוג של #0^0#. באופן כללי, מתמטיקאים לעזוב #0^0# לא מוגדר. ישנם שלושה שיקולים שעלולים להוביל למישהו להגדיר הגדרה עבור #0^0#.

הבעיה (אם זו בעיה) היא שהם לא מסכימים על מה צריכה להיות ההגדרה.

שיקול 1:

עבור כל מספר # p # חוץ מ #0#, יש לנו # p ^ 0 = 1 #.

זוהי למעשה הגדרה של מה אומר אפס מתכוון. זוהי הגדרה שנבחרה מסיבות טובות. (וזה לא "לשבור" אריתמטי.)

הנה אחת הסיבות הטובות: הגדרת # p ^ 0 # להיות #1# מאפשר לנו לשמור (ולהרחיב) את הכללים לעבודה עם מעריכים, לדוגמה, #(5^7)/(5^3)=5^4# זה עובד על ידי ביטול גם על ידי הכלל # (p ^ n) / (p ^ m) = p ^ (n-m) # ל #n> m #.

אז מה #(5^8)/(5^8)#?

ביטול (הקטנת החלק) נותן לנו #1#. אנחנו מקבלים כדי לשמור על שלנו "לחסר את המעריכים" כלל אם אנחנו להגדיר #5^0# להיות #1#.

אז, אולי אנחנו צריכים להשתמש באותו כלל להגדיר #0^0#.

אבל…

שיקול 2

עבור כל מעריך חיובי, # p #, יש לנו # 0 ^ p = 0 #. (זה לא הגדרה, אך עובדה שאנו יכולים להוכיח.)

אז אם זה נכון עבור exponants חיובי, אולי אנחנו צריכים להרחיב את זה #0# המעריך ו להגדיר #0^0=0#.

שיקול 3

הסתכלנו על הביטויים: # x ^ 0 # ו # 0 ^ x #.

עכשיו תסתכל על ההבעה # x ^ x #. הנה הגרף של # y = x ^ x #:

גרף {y = x ^ x -1.307, 3.018, -0.06, 2.103}}

אחד הדברים שאתה עשוי להבחין בכך, הוא מתי #איקס# הוא קרוב מאוד #0# (אך עדיין חיובי) # x ^ x # הוא קרוב מאוד #1#.

בתחומים מסוימים במתמטיקה, זו סיבה טובה להגדיר #0^0# להיות #1#.

הערות אחרונות

הגדרה חשובה ורבת עוצמה, אך לא ניתן להשתמש בה בחוסר זהירות. הזכרתי "שוברים אריתמטיקה". כל ניסיון להגדיר חלוקה כך חלוקה על ידי #0# מותר לשבור חלק חשוב של חשבון. כל ניסיון.

הערה אחרונה: ההגדרות של #x ^ (- n) = 1 / (x ^ n) # ו # x ^ (1 / n) = root (n) x # הם גם מונעים בחלקם, על ידי הרצון לשמור על הכללים המוכרים שלנו לעבוד עם מעריכים.