תשובה:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
הסבר:
תן #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
נניח שאנו עוסקים בערכים ריאליים ולכן הלוגריתם הטבעי האמיתי.
אז אנחנו מאולצים #x> 0 # כדי ש #ln (5x) # יוגדרו.
לכל #x> 0 # שני המונחים מוגדרים היטב וכך #f (x) # היא פונקציה מוגדרת היטב עם תחום # (0, oo) #.
שים לב ש # 3ln (5) # ו # x ^ 3 # הן הן מונוטוניות בהחלט על תחום זה ולכן הפונקציה שלנו הוא גם הוא אחד על אחד.
עבור ערכים חיוביים קטנים של #איקס#, התנאי # x ^ 3 # הוא קטן וחיובי ואת המונח # 3ln (5x) # הוא שרירותי גדול שלילי.
עבור ערכים חיוביים גדולים של #איקס#, התנאי # 3ln (5x) # הוא חיובי ואת המונח # x ^ 3 # הוא גדול באופן שרירותי וחיובי.
מאז הפונקציה היא גם רציפה, הטווח הוא # (- oo, oo) #
אז עבור כל ערך של #y in (-oo, oo) # יש ערך ייחודי של #x ב- (0, oo) # # כך ש #f (x) = y #.
זה מגדיר את הפונקציה ההפוכה שלנו:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
זה #f ^ (- 1) (y) # הוא הערך של #איקס# כך ש #f (x) = y #.
הראינו (באופן לא רשמי) כי זה קיים, אבל אין פתרון אלגברי עבור #איקס# במונחים של # y #.
הגרף של #f ^ (- 1) (y) # הוא גרף #f (x) # משתקף בקו # y = x #.
בקטע מוגדר:
(0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
(x, y) ב- RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
