מהי הנוסחה כדי למצוא את האזור של דודקגון רגיל?

תשובה:

# = _ = ~ 11.196152 * "צד" # 2 # #

הסבר:

בחושבו על משקולת קבועה המופיעה במעגל, אנו רואים כי היא נוצרת על ידי 12 משולשים איסוסלד אשר הצדדים הם רדיוס המעגל, רדיוס המעגל של צד של דודקגון; בכל אחד מהמשולשים הללו, הזווית המנוגדת לצידו של הדודקגון שווה #360^@/12=30^@#; השטח של כל המשולשים האלה הוא # ("side" * "height) / 2 #, אנחנו רק צריכים לקבוע את גובה מאונך לצד של דודגקן כדי לפתור את הבעיה.

במשולש השוליים המוזכר, שבסיסו הוא הצד של הדודקגון ושני צדדיו שווים את רדיוס המעגל, שזוויתו מנוגדת לבסיס (# אלפא #) שווה ל #30^@#, יש רק קו משורטט מתוך קודקוד שבו רדיוס המעגל להיפגש (נקודה ג) שמייצגת באופן אופייני את הצד של הדודקגון: הקו הזה חוצה את הזווית # אלפא # כמו כן מגדיר את גובה המשולש בין הנקודה C לנקודה בה יורטט הבסיס (הנקודה M), כמו גם מחלק את הבסיס בשני חלקים שווים (הכל בגלל שני משולשים קטנים יותר נוצרו כך קונגרנטים).

מאחר ששני המשולשים הקטנים המוזכרים לעיל הם נכונים, אנו יכולים לקבוע את גובה משולש האיסוסל בדרך זו:

#tan (אלפא / 2) = "מתנגד cathetus" / "catathus סמוכים" # => #tan (30 ^ @ / 2) = ("side" / 2) / "height" # => #height = "side" / (2 * tan 15 ^ @ @) #

אז יש לנו

(= "צד") ("צד") ("צד") (= "צד")) # => #S_ (dodecagon) = 3 * ("צד") ^ 2 / (tan 15 ^ @ @) #