לאפשר להיות N המספר הקטן ביותר עם 378 מחלקים. אם N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, מה הערך של {a, b, c, d} ב- NN?

תשובה:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

הסבר:

בהתחשב במספר # n # עם גורמים עיקריים #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, כל מחלק של # n # הוא של הטופס # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # איפה #beta_i ב- {0, 1, …, alpha_i} #. כפי שיש # alpha_i + 1 # אפשרויות עבור כל אחד # beta_i #, מספר המחלקים של # n # ניתן ע"י

# (alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

כפי ש # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, מספר המחלקים של # N # ניתן ע"י # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. לכן, המטרה שלנו היא למצוא #(א ב ג ד)# כך המוצר לעיל מחזיקה ו # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # הוא מינימלי. כפי שאנו מזעור, נניח מכאן ואילך כי #a> = b> = c = d # (אם זה לא היה המקרה, אנחנו יכולים להחליף את המעריכים כדי לקבל תוצאה פחותה עם מספר זהה של מחלקים).

מציין ש # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, אנו יכולים לשקול את המקרים האפשריים בהם #378# נכתב כתוצר של ארבעה מספרים שלמים # k_1, k_2, k_3, k_4 #. אנחנו יכולים לבדוק את אלה כדי לראות איזה מייצר את התוצאה לפחות # N #.

בפורמט (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #color (אדום) (3, 3, 2, 3)

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

אנחנו יכולים לעצור כאן, כמו כל מקרים נוספים יהיו כמה #k_i> = 27 #, נותן # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, שהוא כבר גדול מהמקרה הטוב ביותר שלנו.

על ידי העבודה לעיל, אם כן, #(א ב ג ד)# אשר מייצרת מינימלי # N # עם #378# המחלקים הוא # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, נותן #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #