תשובה:
אין פתרונות ב # RR #.
הסבר:
קודם כל, בואו לפשט קצת:
כפי ש # e ^ x # ו #ln (x) # הם פונקציות הפוכה, # e ^ ln (x) = x # מחזיקה וכן #ln (e ^ x) = x #. זה אומר שאתה יכול לפשט את המונח הלוגריתמי השלישי שלך:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 ((1 / x) / 3) = 4/3 #
# 4 => log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x) = 4/3 #
המטרה הבאה שלך היא להביא את כל # log # פונקציות לאותו בסיס, כך שיש לך הזדמנות להשתמש בכללים logarithm עליהם לפשט.
ניתן לשנות את בסיס הלוגריתם כך:
#log_a (x) = log_b (x) / log_b (a) #
הבה נשתמש בכלל זה כדי לשנות את הבסיס #8# of # log_8 # ואת הבסיס #32# of # log_32 # לבסיס #2#:
# log_8 (1-x) + (10 log_32 (x)) / 3 - log_2 (1 / (3x) = 4/3 #
# (=) = (log_2 (1-x)) / (log_2 (8)) + (10 log_2 (x)) / (3 log_2 (32)) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
עכשיו, אנחנו יכולים לחשב # log_2 (8) = 3 # ו # log_2 (32) = 5 #
(במקרה זה לא ברור תן לי לשבור אותו רק כדי להיות בטוח: # 2 ^ x <=> 8 = 2 ^ x <=> 2 ^ 3 = 2 ^ x #)
זה מוביל אותנו למשוואה הבאה, פשוטה יותר, לוגריתמית:
# (log_2) (1-x)) / 3 + (10 log_2 (x)) / (3 * 5) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
# 1 => 1/3 log_2 (1-x) + 2/3 log_2 (x) - log_2 (1 / (3x)) = 4/3 #
… הכפל את שני הצדדים #3#…
# = => log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
עכשיו אנחנו מוכנים להשתמש בכללים logarithm:
#log_a (x * y) = log_a (x) + log_a (y) # ו #log_a (x ^ y) = y * log_a (x) #
המטרה היא להיות רק אחד # log # טווח בצד שמאל. בוא נעשה את זה.:)
# log_2 (1-x) + 2 log_2 (x) - 3 log_2 (1 / (3x)) = 4 #
# = => log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 ((1 / (3x)) ^ (- 3)) = 4 #
# = => log_2 (1-x) + log_2 (x ^ 2) + log_2 (27 x ^ 3) = 4 #
# <= = log_2 ((1-x) * x ^ 2 * 27 x ^ 3) = 4 #
# <= => log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
בשלב זה, אנחנו יכולים להיפטר # log_2 (א) # על ידי החלת הפונקציה ההפוכה # 2 ^ a # לשני הצדדים של המשוואה.
# log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6) = 4 #
# = => 2 ^ (log_2 (27 x ^ 5 - 27 x ^ 6)) = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 2 ^ 4 #
# <=> 27 x ^ 5 - 27 x ^ 6 = 16 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 = 16/27 #
# <=> -x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 = 0 #
למרבה הצער, אני חייב להודות שאני תקוע כרגע כי אני לא יודע איך לפתור את המשוואה הזאת.
עם זאת, מתכננים #f (x) = - x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 # אומר לי כי משוואה זו אין פתרונות ב # RR #.
גרף {- x ^ 6 + x ^ 5 - 16/27 -9.63, 10.37, -4.88, 5.12}
אני מקווה שזה עזר קצת!
