באיזו אינטרוולים המשוואה הבאה היא קעורה למעלה, קעורה למטה ואיפה נקודת ההטיה היא (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

תשובה:

• אם # 0 <x <e ^ (- 15/56) # לאחר מכן # f # J קעורה;
• אם #x> e ^ (- 15/56) # לאחר מכן # f # J קעורה;
• # x = e ^ (- 15/56) # הוא (נופל) נקודת הטיה

הסבר:

לנתח נקודות קעירה ונקודה של פונקציה כפולה # f #, אנו יכולים ללמוד את החיוביות של הנגזרת השנייה. למעשה, אם # x_0 # היא נקודה בתחום של # f #, לאחר מכן:

• אם #f '' (x_0)> 0 #, לאחר מכן # f # J קעורה בשכונה של # x_0 #;
• אם #f '' (x_0) <0 #, לאחר מכן # f # J קעורה בשכונה של # x_0 #;
• אם #f '' (x_0) = 0 # ואת הסימן של #f '' # על שכונה ימנית קטנה מספיק # x_0 # הוא הפוכה לסימן #f '' # על שכונה שמאלית קטנה למדי של # x_0 #, לאחר מכן # x = x_0 # נקרא נקודת הטיה of # f #.

במקרה הספציפי של #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, יש לנו פונקציה שאת תחום יש להגביל את ריאל חיובית #RR ^ + #.

הנגזרת הראשונה היא

(x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 # # ln (x)

הנגזרת השנייה היא

(xl) + + # 56 ln (x)

בואו ללמוד את החיוביות של #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

אז, בהתחשב בכך התחום #RR ^ + #, אנחנו מקבלים את זה

• אם # 0 <x <e ^ (- 15/56) # לאחר מכן #f '' (x) <0 # ו # f # J קעורה;
• אם #x> e ^ (- 15/56) # לאחר מכן #f '' (x)> 0 # ו # f # J קעורה;
• אם # x = e ^ (- 15/56) # לאחר מכן #f '' (x) = 0 #. בהתחשב בכך בצד שמאל של נקודה זו #f '' # היא שלילית, ובצד ימין היא חיובית, אנו מסיקים זאת # x = e ^ (- 15/56) # הוא (נופל) נקודת הטיה