לפתור עבור x ב RR את המשוואה sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

תשובה:

#x ב- 5, 10 # #

הסבר:

תן # u = x-1 #. לאחר מכן נוכל לשכתב את הצד השמאלי של המשוואה

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) # #

# = | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

הערה נוכחות של #sqrt (u) # ב משוואה וכי אנחנו רק מחפשים ערכים אמיתיים, אז יש לנו את ההגבלה #u> = 0 #. עם זאת, נבחן כעת את כל שאר המקרים:

תיק 1: # 0 <= u <= 4 #

# sqrt (u) -2 + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

לכן # u = 4 # הוא הפתרון היחיד במרווח #0, 4#

מקרה 2: # 4 <= u <= 9 #

# sqrt (u) -2 + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

מכיוון שזוהי טוטולוגיה, כל ערך #4, 9# הוא פתרון.

מקרה 3: #u> = 9 #

# sqrt (u) -2 + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

לכן #u = 9 # הוא הפתרון היחיד במרווח # 9, oo #

יחדיו, יש לנו #4, 9# כמו הפתרון להגדיר ערכים אמיתיים של # u #. החלפה פנימה #x = u + 1 #, אנו מגיעים לפתרון הסופי #x ב- 5, 10 # #

כאשר מסתכלים על הגרף של הצד השמאלי, זה מתאים למה שאנחנו מצפים: