מהו היקף המתומן הרגיל ברדיוס של 20?

תשובה:

זה תלוי:

אם הרדיוס הפנימי הוא #20#, ואז ההיקף הוא:

# 320 (sqrt (2) - 1) ~ 132.55 #

אם הרדיוס החיצוני הוא #20#, ואז ההיקף הוא:

# 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 122.46 #

הסבר:

כאן מעגל אדום מקיף את הרדיוס החיצוני ואת הירוק מעגל הפנימי.

תן # r # להיות רדיוס חיצוני - זה רדיוס המעגל האדום.

ואז קודקודי המתומן התמקדו #(0, 0)# נמצאים ב:

# (+ - r, 0) #, # (0, + -r) #, # (+ - r / sqrt (2), + -r / sqrt (2)) #

אורכו של צד אחד הוא המרחק בין # (r, 0) # ו # (r / sqrt (2), r / sqrt (2)) #:

#sqrt ((r-r / sqrt (2)) ^ 2 + (r / sqrt (2)) ^ 2) # #

# = r sqrt ((1-1 / sqrt (2)) ^ 2 + 1/2) # #

# = r sqrt (1-2 / sqrt (2) + 1/2 + 1/2) # #

# = r sqrt (2-sqrt (2)) #

אז ההיקף הכולל הוא:

#color (אדום) (8r sqrt (2-sqrt (2))) #

אז אם הרדיוס החיצוני הוא #20#, ואז ההיקף הוא:

# 8 * 20 sqrt (2-sqrt (2)) = 160 sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 122.46 #

#צבע לבן)()#

הרדיוס הפנימי יהיה # r_1 = r cos (pi / 8) = r / 2 (sqrt (2 + sqrt (2))) #

לכן #r = (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) #

אז ההיקף הכולל הוא

# 2r sqrt (2-sqrt (2)) = 8 (2r_1) / (sqrt (2 + sqrt (2))) sqrt (2-sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2-sqrt (2)) / sqrt (2 + sqrt (2)) #

# # 16r_1 (sqrt (2-sqrt (2)) sqrt (2 + sqrt (2))) / (2 + sqrt (2)) #

# 2 (# 2r) (2 + sqrt (2)))) / (2 + sqrt (2)) #

# = 16r_1 sqrt (2) / (2 + sqrt (2)) #

# (16) (2) (2-sqrt) 2)) / ((2 + sqrt (2)) (2-sqrt (2)) #

# = 8r_1 (2sqrt (2) -2) # #

# = color (ירוק) (16r_1 (sqrt (2) -1)) #

אז אם הרדיוס הפנימי הוא #20#, ואז ההיקף הוא:

# 16 * 20 (sqrt (2) - 1) = 320 (sqrt (2) - 1) ~ 132.55 #

#צבע לבן)()#

כמה טוב קירוב #פאי# זה נותן לנו?

בזמן שאנחנו כאן, מה קירוב #פאי# אנחנו מקבלים על ידי ממוצעים רדיוס פנימי וחיצוני?

## ~ ~ 2 (2) (2) - 1) + sqrt (2-sqrt (2)) ~ ~ 3.1876 #

… אז לא גדול.

כדי לקבל כמו קירוב טוב כמו #355/113 ~~ 3.1415929#, המתמטיקאי הסיני Zu Chongzhi בשימוש #24576# (# = 2 ^ 13 xx 3 #) מצולע צדדית וספירת מוטות.

en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi