לשכתב את המשוואה במערכת x'y 'מסובבת ללא מונח x'y. האם אני יכול לקבל קצת עזרה? תודה!

תשובה:

הבחירה השנייה:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

הסבר:

המשוואה הנתונה

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

הוא בצורת קרטזית כללית עבור סעיף חרוט:

# Axe ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

איפה #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 ו- F = -144 #

סיבוב ההתייחסות של הצירים נותן לנו משוואות שמאפשרות לנו לסובב חלק חרוט לזווית מסוימת, # theta #. כמו כן, זה נותן לנו משוואה המאפשרת לנו לכפות את מקדם של # xy # 100.

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

החלפת הערכים משוואה 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

לפשט:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-qqrt3) # #

#theta = -pi / 6 #

השתמש במשוואה (9.4.4b) כדי לוודא שהסיבוב החדש גורם למקדם של # xy # טווח 0:

#B '= (A-C) חטא (2theta) + B cos (2theta) # #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # אומת.

השתמש במשוואה (9.4.4a) כדי לחשב # A # #:

# A '+ (A + C) / 2 cos (2theta) - B / 2 חטא (2theta) # #

# ('+')) - (10 + 2) / 2 חטא (2 -pi / 6) # #

#A '= 36 #

השתמש במשוואה (9.4.4c) כדי לחשב # C '#:

# C '(+ C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 חטא (2theta) # #

# (+ / 6)) + (10sqrt3) / 2 חטא (2 -pi / 6) # #

#C '= 16 #

השתמש במשוואה (9.4.4f) כדי לחשב # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

עכשיו, אנחנו יכולים לכתוב את הטופס unrotated:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

מחלק את שני הצדדים ב -144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

הוסף 1 לשני הצדדים:

# x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 #

תשובה:

אפשרות ב '

הסבר:

אנחנו יכולים לכתוב את המשוואה בצורת מטריצה ולאחר מכן לסובב אותה על ציר הראשי שלה.

תן:

# bb x ^ T M bb x = x, y a, b), (b, c) x, (y) = Q #

# (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = ax = 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

וכך בצורת מטריצה:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad square #

כדי לסובב את הצירים # bbx # על ידי # theta #:

#bb x ^ '= = R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

טרנספוזיציה #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #, כמו R הוא אורתוגונלי

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

לשים את התוצאות האחרונות 2 לתוך #כיכר#:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

IOW אם R היא מטריצה כי diagonalises M, אז יש לנו את המשוואה במונחים של הצירים העיקריים שלה עבור מטריקס eigenvector באלכסון ד, דהיינו:

• #D = R M R ^ (- 1) #

M של העצמי הם 36 ו - 16 כך ניתן diagonalised כמו:

#bb x ^ '(36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') 9, 0, (0, 4) (x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ ^ 2) / 9 = 1 #