איך אתה מעריך את האינטגרל של אינט (dt) / (t-4) ^ 2 מ 1 עד 5?

תשובה:

תחליף # x = t-4 #

התשובה היא, אם אתה באמת ביקש פשוט למצוא את אינטגרל:

#-4/3#

אם אתה מחפש את האזור, זה לא כל כך פשוט אף.

הסבר:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

הגדר:

# t-4 = x #

לכן asks

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

והגבולות:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

עכשיו תחליף אלה שלושה ערכים שנמצאו:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 - (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

הערה: לא לקרוא את זה אם אתה לא צריך לחשוב איך למצוא את השטח. אמנם זה צריך באמת לייצג את האזור בין שתי הגבולות ומאז הוא תמיד חיובי, זה היה צריך להיות חיובי. עם זאת, פונקציה זו היא לא רציף ב # x = 4 # אז זה אינטגרל אינו מייצג את האזור, אם זה מה שאתה רוצה. זה קצת יותר מסובך.

תשובה:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

הסבר:

# t = 2 = u = "d = t = d #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = = (+ 2 - 1) / (- 2 + 1) | ^ 5 = | -i ^ -1 | _1 ^ 5 #

# t = 2 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# 1 (+ 2) = 1 / (2-2) + 1 / (1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

תשובה:

תלוי כמה אינטגרציה למדת את התשובה "הטובה ביותר" יהיה גם: "אינטגרל אינו מוגדר" (עדיין) או "סטייה אינטגרלית"

הסבר:

כאשר אנו מנסים להעריך # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, עלינו לבדוק כי integrand מוגדר על מרווח שאנחנו מעל אינטגרציה.

# 1 / (x-4) ^ 2 # אינו מוגדר ב #4#, ככה זה לא המוגדר על כל מרווח #1,5#.

בתחילת המחקר של חצץ, אנו מגדירים את האינטגרל על ידי התחלה

"תן # f # להיות מוגדר על מרווח # a, b #… '

מוקדם כל כך במחקר שלנו, התשובה הטובה ביותר היא

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# אינו מוגדר (עדיין?)

מאוחר יותר אנו מרחיבים את ההגדרה למה שמכונה "אינטגרלים פסולים"

אלה כוללים אינטגרלים במרווחים לא מאורגנים (# (- oo, b) #, # a, oo # ו # (- oo, oo) #) וכן מרווחי שבו integrand יש נקודות שבו הוא לא מוגדר.

כדי (לנסות) כדי להעריך # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, אנו מעריכים את שני האינטגרלים הלא מתאימים # (+ 4 +) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(שים לב כי integrand הוא עדיין לא מוגדר על אלה סגור אינטרווליים).

השיטה היא להחליף את הנקודה שבה integrand אינו מוגדר על ידי משתנה, ולאחר מכן לקחת גבול כאשר משתנה זה מתקרב למספר.

# 1 (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

בואו למצוא את האינטגרל הראשון:

# (1 / x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) # 1 ^ b #

# (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

מחפש את הגבול כמו # brarr4 ^ - #, אנו רואים כי הגבול אינו קיים. (כפי ש # brarr4 ^ - #, הערך של # -1 / (b-4) # # מגביר ללא קשר).

לכן מעל אינטגרל #1,4# לא קיים כך אינטגרל מעל #1,5# לא קיים.

אנחנו אומרים שהאינטגרל מתפצל.

הערה

היו שיאמרו: עכשיו יש לנו הגדרה של אינטגרל, שם פשוט לא קורה להיות מספר המספק את ההגדרה.