מהי הנגזרת של y = (sinx) ^ x?

תשובה:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

הסבר:

השתמש בידול לוגריתמי.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (השתמש במאפיינים של # ln #)

הבחנה ברורה: (השתמש בכללי המוצר ובסיכת שרשרת)

# 1 / y dy / dx = 1ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

אז יש לנו:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

לפתור עבור # dy / dx # על ידי הכפלת #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

תשובה:

# d / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

הסבר:

הדרך הקלה ביותר לראות זאת היא באמצעות:

# (sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x) = e ^ (xln (sinx)) #

לוקח את הנגזרת של זה נותן:

# d / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)) #

# (ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

עכשיו אנחנו חייבים לציין כי אם # (sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # אינו מוגדר.

עם זאת, כאשר אנו מנתחים את ההתנהגות של הפונקציה סביב #איקס#שלדעתה אנו מוצאים כי הפונקציה מתנהגת די טוב כדי שזה יעבוד, כי אם:

# (sinx) ^ x # גישות 0

לאחר מכן:

#ln ((sinx) ^ x) # יתקרב # -oo #

לכן:

# e ^ (ln ((sinx) ^ x)) # יתקרב 0 גם כן

יתר על כן, נציין כי אם #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # יהיה מספר מורכב; עם זאת, כל האלגברה ואת חצץ כי השתמשנו לעבוד במישור המורכב גם כן, אז זה לא בעיה.

תשובה:

יותר כללי…

הסבר:

(f) x (x) x (x) x (x) x (x) x (x) f (x) ^ g (x) #