פתרון זה באמצעות אינטגרל רימן?

תשובה:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # או # approx 1.302054638 … #

הסבר:

המספר החשוב ביותר של זהות לפתרון כל סוג של בעיה עם מוצר אינסופי הוא המרת אותו לבעיה של סכומים אינסופיים:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

אמפאסיס:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

אבל, לפני שאנחנו יכולים לעשות את זה, אנחנו צריכים קודם להתמודד עם # frac {1}} n ^ 2} במשוואה btw בואו נקרא את המוצר האינסופי L:

# N = 2 lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n אל + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} lim_ {n אל + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

עכשיו אנחנו יכולים להמיר את זה לתוך סכום אינסופי:

# L = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} } = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}}) #

להחיל מאפייני logarithm:

# L = lim_ {n to + infty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

ושימוש במאפייני גבול:

# L = exp lim_ {n אל + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

בואו נקרא את הסכום האינסופי S:

# N = + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

ותזכרי את זה

# L = exp (S) #

עכשיו בואו לפתור את השאלה שלך על ידי המרת אותו מ RIEMANN SUM כדי DEFINITE אינטגרלי:

נזכיר את ההגדרה של סכום רימן הוא:

אמפאסיס:

# int_ {a} = {b} f (x) dx = lim_ {n אל + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

תן

# lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

עכשיו, בואו # f (x) = ln (1 + x ^ 2) ו- = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

לפיכך, b = 1 ie.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

לכן,

# N = + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

לפתור עבור # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

שימוש באינטגרציה על ידי חלקים:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

תן # u = ln (1 + x ^ 2) ו- v = 1 #

לאחר מכן, השתמש כלל שרשרת נגזרת של logarithm טבעי להגיע # 1 '(1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

ולהשתמש כלל הכוח כדי לקבל: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1}} {x ^ 2 + 1} dx # # השתמש כלל חיסור:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx # #

השתמש כלל הכוח עבור אינטגרל הראשון אינטגרל השני הוא פונקציה טריגונומטרי סטנדרטי # arctan (x) # (ההופכי של פונקציית המשיק)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

לפיכך, # + int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

עכשיו לפתור את אינטגרל מובהק:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

אנו יודעים כי אנטי נגזרת היא # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, לפיכך

# F = (x) = _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

# 1 = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

שים לב כי ארקטן (1) הוא 45 ° או # frac { pi} {4} # (זוכר את המשולש הימני מיוחד עם אורכים בצד 1,1, # sqrt {2} # וזוויות 45 °, 45 °, 90 °) וגם # arctan (0) = 0 #

לכן # L = (2) - 2 + frac { pi} {2} # = = 2 + 2 (frac { pi} {4}

או # approx 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ { frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2}

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

לכן הפתרון הוא # lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} {n }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # או # approx 1.302054638 … #