שני אקורדים מקבילים של מעגל עם אורכים של 8 ו -10 משמשים בסיסים של טרפז שנכתב במעגל. אם אורך הרדיוס של המעגל הוא 12, מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של טרפז כזה כתוב תיאר?

תשובה:

# 72 * sqrt (2) + 9 * sqrt (119) ~ = 200.002 #

הסבר:

שקול תאנים. 1 ו -2

באופן סכמטי, נוכל להכניס מקדם ABCD מקבילי במעגל, ובתנאי שהצדדים AB ו- CD הם אקורדים של המעגלים, בדרך של דמות 1 או של דמות 2.

התנאי כי הצדדים AB ו- CD חייב להיות אקורדים של המעגל מרמז כי הטרפז החרוט חייב להיות אחד isosceles כי

• הטרפז של אלכסונים (# AC # ו # CD #) שווים
• #A Hat B D = B כובע C = B hatD C = כובע C D #

  ואת הקו בניצב # AB # ו # CD # עובר דרך מרכז E חוצה אלה אקורדים (כלומר, זה # AF = BF # ו # CG = DG # ואת המשולשים שנוצרו על ידי צומת של אלכסונים עם בסיסים פנימה # AB # ו # CD # הם שוהים).

אבל מאז השטח של הטרפז הוא

# S = (b_1 + b_2) / 2 * h #, איפה # b_1 # מייצג בסיס -1, # b_2 # עבור בסיס -2 ו # h # גובה, ו # b_1 # מקביל ל # b_2 #

ומאז הגורם # (b_1 + b_2) / 2 # הוא שווה בהשערות של איורים 1 ו -2, מה שחשוב הוא שבה ההשערה טרפז יש גובה ארוך יותר (# h #). במקרה הנוכחי, עם אקורדים קטנים יותר מאשר רדיוס המעגל, אין ספק כי בהשערה של הדמות 2 טרפז יש גובה יותר ולכן יש לו שטח גבוה יותר.

על פי איור 2, עם # AB = 8 #, # CD = 10 # ו # r = 12 #

(= / 2) / r = (8 /) / 12 = 4/3 = 1/3 #

# -> חטא אלפא = sqrt (1-1 / 9) = sqrt (8) / 3 = 2sqrt (2) / 3 #

(2) / - ביטול (3)) / (1 / ביטול (3)) = 2sqrt (2) #

#tan alpha = x / (AB) / 2) # # => # x = 8 / ביטול (2) * ביטול (2) sqrt (2) # => # x = 8sqrt (2) #

# crius (= 10) / 5 = 5/12 #

# -> ביתא חטא = sqrt (1-25 / 144) = sqrt (119) / 12 #

# () - / (5)) / (5) ביטול (12)) = sqrt (119) / 5 #

#tan ביתא = y ((CD) / 2) # => # y = 10/2 * sqrt (119) / 5 # => # y = sqrt (119) #

לאחר מכן

# h = x + y #

# h = 8sqrt (2) + sqrt (119) #

# = (= + = B_2) / 2 * h = (8 + 10) / 2 (8sqrt (2) + sqrt (119)) = 72sqrt (2) + 9sqrt (119) ~ = 200.002 #