שאלה # ba262

תשובה:

ההוכחה היא קצת ארוכה, אבל לניהול. ראה למטה.

הסבר:

כאשר מנסים להוכיח זהויות טריג 'מעורבים שברים, זה תמיד רעיון טוב להוסיף את השברים הראשון:

# sint / (1-cost) + (1 + cost) / sint = (2 (1 + cost) / sint #

מס '1 - עלות (/ 1 עלות) sint / sint + (1 + עלות) / sint (1 עלות) / (1 עלות) = (2 (1 + עלות) / sint #

- (1 + עלות) (1-עלות)) / ((עלות 1) (sint)) = (2 (1 + עלות)) / sint #

# (+) (+ 1) עלות (1 + עלות) (1-עלות)) / ((עלות 1) (sint)) = (2 (1 + עלות) / sint #

הביטוי # (1 + עלות) (1-עלות) # הוא למעשה הבדל של ריבועים בתחפושת:

# (a + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

עם # a = 1 # ו # b = עלות #. זה מעריך # (1) ^ 2 (עלות) ^ 2 = 1-cos ^ 2t #.

אנחנו יכולים להמשיך הלאה # 1-cos ^ 2t #. נזכיר את הזהות הפיתגוראית הבסיסית:

# cos ^ 2x + חטא ^ 2x = 1 #

הפחתה # cos ^ 2x # משני הצדדים, אנו רואים:

# sin = 2x = 1-cos ^ 2x #

מאז #איקס# הוא רק משתנה מיקום, אנחנו יכולים לומר את זה # sin = 2t = 1-cos ^ 2t #. לכן, # (1 + עלות) (1-עלות) # הופך # sin = 2t #:

# (חטא + 2t + חטא ^ 2t) / (1-cost) (sint)) = (2 (1 + עלות)) / sint #

# (- 2 (2sin ^ 2t) / (1-cost) (sint)) = (2 (1 + עלות) / sint #

שים לב כי sines לבטל:

# (2 cancel (חטא ^ 2t) ^ sint) / ((1 עלות) לבטל ((sint))) = (2 (1 + עלות)) / sint #

# -> (2sint) / (1-cost) = (2 (1 + cost) / sint #

כמעט סיימנו. השלב האחרון הוא להכפיל את הצד השמאלי על ידי הצמד של # 1-cost # (שהוא # 1 + עלות #), כדי לנצל את ההבדל של ריבועים רכוש:

# (2sint) / (1-cost) (1 + עלות) / (1 + עלות) = (2 (1 + עלות)) / sint #

# (- 2) (1 + עלות)) / ((1 עלות) (1 + עלות)) = (2 (1 + עלות)) / sint #

שוב, אנחנו יכולים לראות את זה # (1-cost) (1 + עלות) # הוא הבדל של ריבועים, עם # a = 1 # ו # b = עלות #. זה מעריך # (1) ^ 2- (עלות) ^ 2 #, או # 1-cos ^ 2t #. כבר הראינו זאת # sin = 2t = 1-cos ^ 2t #, ולכן המכנה מוחלף:

# (2sint (1 + עלות)) / (sin = 2t) = (2 (1 + עלות) / sint #

Sines לבטל:

# (2cancel (sint) (1 + עלות)) / (ביטול (חטא ^ 2t) ^ sint) = (2 (1 + עלות)) / sint #

ו voila, הוכחה להשלים:

# (2 (1 + עלות)) / sint = (2 (1 + עלות)) / sint #

תשובה:

תן לי לנסות

הסבר:

# LHS = sint / (1-cost) + (1 + cost) / sint #

בדיקת RHS אנחנו לוקחים משותף# (1 + עלות) / sint #

לכן

# LHS = (1 + עלות) / sint (sint / (1 + עלות) * sint / (1-cost) +1) # #

# = (1 + עלות) / sint (חטא ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + עלות) / sint (חטא ^ 2t / חטא ^ 2t + 1) # #

# = (1 + עלות) / sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + עלות)) / sint = RHS #

הוכיח