תן x, y, z הם שלושה מספרים אמיתיים ומובחנים המספקים את המשוואה 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4x + yz + 2xz) = 0, אז איזו מהאפשרויות הבאות נכונה ? (א) x / y = 1/2 (b) y / z = 1/4 (c) x / y = 1/3 (d) x, y, z נמצאים ב- A.

תשובה:

התשובה היא (א).

הסבר:

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4x + yz + 2xz) = 0 # ניתן לכתוב כמו

# 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

או # 16x ^ 2 + 4y ^ 2 + z ^ 2-8xy-2yz-4xz = 0 #

כלומר # (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2 + z ^ 2-4x * 2y-2y * z-4x * z = 0 #

אם # a = 4x #, # b = 2y # ו # c = z #, אז זה

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-ab-bc-ca = 0 #

או # 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2ab-2bc-2ca = 0 #

או # (a ^ 2 + b ^ 2-2ab) + (b ^ 2 + c ^ 2-2bc) + (c ^ 2 + a ^ 2-2ac) = 0 #

או # (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 = 0 #

עכשיו אם סכום של שלושה ריבועים הוא #0#, הם חייבים להיות כל אפס.

לפיכך # a-b = 0 #, # b-c = 0 # ו # c-a = 0 #

כלומר # a = b = c # ובמקרה שלנו # 4x = 2y = z = k # אמר

לאחר מכן # x = k / 4 #, # y = k / 2 # ו # z = k #

כלומר # x, y # ו # z # הם ב G.P, ו # x / y = 2/4 = 1/2 #

# y / z = 1/2 # ולכן התשובה היא (א).

# x, y, z # הם שלושה מספרים אמיתיים ומובחנים המספקים את המשוואה

בהתחשב

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4x + yz + 2xz) = 0 #

# => 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

# => 16x ^ 2 + 4y ^ 2-16xy + 16x ^ 2 + z ^ 2-8xz + 4y ^ 2 + z ^ 2-4yz = 0 #

(+ 2) + 2 + 2 * 4x * z + (2y) ^ 2 + z ^ 2-2 * 2y * z = 0 #

# 2 (2x-z) ^ 2 = (4x-z) ^ 2 + (2y-z) ^ 2 = 0 #

סכום שלוש כמויות ריבועיות רישיות להיות אפס כל אחד מהם חייב להיות אפס.

לפיכך # 4x-2y = 0-> x / y = 2/4 = 1 / 2to #אפשרות (א)

# 4x-z = 0 => 4x = z #

ו

# 2y-z = 0 => 2y = z #