להעריך את אינטגרל בלתי מוגדר: sqrt (10x-x ^ 2) dx?

תשובה:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

הסבר:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

השלם את הכיכר, #int "" sqrt (25 - (x-5) ^ 2) "dx #

תחליף # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "du #

תחליף # u = 5sin (v) # ו # du = 5cos (v) #

#intos "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

לפשט, #intos "(5cos (v)) (5cos (v))" dv #

לעדן, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

להוציא את קבוע, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

החל נוסחאות זווית כפולה, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

להוציא את קבוע, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

לשלב, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

תחליף בחזרה # v = arcsin (u / 5) # ו # u = x-5 #

# (2/2) (ביטול) (2) (x-5) / 5)) "+ c /

לפשט, # 25/2 (arcsin (x-5) / 5)) + 25/2 (x-5) / 5) + c #

לעדן, # 25 / 2arcsin (x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, איפה # c # הוא קבוע של אינטגרציה.

Tadaa: D

תשובה:

# (+ 1/2) (x-5) sqrt (-5 x x 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin (x-5) / 5) + c #

הסבר:

מה זה #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

שים לב כי תחום הפונקציה המשולבת הוא המקום שבו הריבוע הפנימי חיובי, כלומר. #x ב- 0, 10 # #

ביטוי זה יכול להיות משולב באמצעות תחליפים. אם כי מסלול אפשרי לאינטגרציה אינו מציג את עצמו מיד, אם נתחרה בכיכר, ניתן לבצע החלפה טריגונומטית:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

אשר, אנו מבחינים, הוא בטופס החלפה טריגונומטרי קלאסי, כלומר ריבוע מספר מינוס הריבוע של ליניארי #איקס# פונקציה.

ראשית, כדי להיפטר הליניארי, אנו נותנים #u = x-5 #, שנותן # du = dx #, כך שאנחנו יכולים לשכתב את האינטגרל לעיל כמו:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

עכשיו תחליף השני, תן #u = 5sintheta #, אשר משנה את האינטגרל ל:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (אנחנו יכולים להתעלם בסוגריים הערך המוחלט)

כמובן, את # dx # לא עוזר, לכן אנו מבדילים את משוואת החלופה כדי לקבל: #du = 5costheta d theta #, כך אינטגרל הופך:

# 25 int cos ^ 2 theta d theta #

עכשיו אנחנו יכולים להשתמש נוסחה זווית כפולה לעשות שילוב # cos ^ 2 theta # קל יותר:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

אז אינטגרל הופך:

# 25/2 cos int (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetacostheta + theta) + c # (באמצעות נוסחת זווית כפולה)

עכשיו, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

לפיכך, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt (- x ^ 2 + 10x-20) / 25) # #

בנוסף, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# (25 = 25/2) (x-5) sqrt (-5) x + 2-20x + 20)) / 25 + arcsin (x-5) / 5)) + c #

# (+ 1/2) (x-5) sqrt (-5 x x 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin (x-5) / 5) + c #