להוכיח כי הפונקציה לא הגבלה ב x_0 = 0? + דוגמה

תשובה:

ראה הסבר.

הסבר:

על פי הגדרתו של היינה להגבלת תפקוד יש לנו:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g)

אז כדי להראות כי יש פונקציה לא להגביל ב # x_0 # אנחנו צריכים למצוא שני רצפים # {x_n} # ו # {bar (x) _n} # כך ש

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} bar (x) _n = x_0 #

ו

# n_> + oo} f (bar (x) _n) # # n -> + oo} f (x_n) = = lim_ {n -> +

בדוגמה נתונה רצפים כאלה יכולים להיות:

# x_n = 1 / (2 ^ n) # ו #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

שני רצפים להתכנס # x_0 = 0 #, אך לפי נוסחת הפונקציה יש לנו:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

כי כל האלמנטים ב # x_n # נמצאים #1,1/2,1/4,…#

ועבור #bar (x) _n # יש לנו:

#f (bar (x) _1) = f (1) = 2 #

אלא לכל #n> = 2 # יש לנו: #f (bar (x) _n) = 1 #

אז #n -> + oo # יש לנו:

#lim_ {n -> + oo} f (bar (x) _n) = 1 # (**)

שני sequences לכסות ל # x_0 = 0 #, אך הגבולות (*) ו- (**) הם לא שווה, אז את הגבול #lim_ {x-> 0} f (x) # לא קיים.

QED

הגדרת המגבלה ניתן למצוא בוויקיפדיה ב:

תשובה:

הנה הוכחה באמצעות שלילת ההגדרה של קיומו של גבול.

הסבר:

גרסה קצרה

#f (x) # לא ניתן לגשת למספר יחיד # L # כי בכל שכונה של #0#, הפונקציה # f # לוקח על עצמו ערכים שונים זה מזה #1#.

אז לא משנה מה מישהו מציע # L #, יש נקודות #איקס# סמוך ל #0#, איפה #f (x) # לפחות #1/2# יחידת הרחק # L #

גירסא ארוכה

#lim_ (xrarr0) f (x) # קיים אם ורק אם

יש מספר, # L # כאלה עבור כל #epson> 0 #, יש #delta> 0 # כך עבור כל #איקס#, # 0 <abs (x) <delta # מרמז #abs (f (x) -L) <epsilon #

שלילת זה היא:

#lim_ (xrarr0) f (x) # נכשל להתקיים אם ורק אם

עבור כל מספר, # L # יש #epson> 0 #, כך שלכל #delta> 0 # יש #איקס#, כך ש # 0 <abs (x) <delta # ו #abs (f (x) -L)> epsilon #

בהתחשב במספר # L #, אני אתן #epsil = 1/2 # (כל קטן יותר #אפסילון# יעבוד גם)

עכשיו נתון חיובי # דלתא #, אני חייב להראות שיש #איקס# עם # 0 <absx <delta # ו #abs (f (x) -L)> 1/2 # (זוכרים את זה #epsil = 1/2 #)

בהתחשב חיובי # דלתא #, בסופו של דבר # 1/2 ^ n <delta # אז יש # x_1 # עם #f (x_1) = 2 #.

יש גם אלמנט # x_2 ב- RR- {1, 1/2, 1/4,… } # עם # 0 <x_2 <delta # ו #f (x_2) = 1 #

אם #L <= (1/2) #, לאחר מכן #abs (f (x_1) -L)> 1/2 #

אם #L> = (1/2) #, לאחר מכן #abs (f (x_2) -L)> 1/2 #