תשובה:
#(-9/14,3/28)#
הסבר:
אנחנו מתחילים # y = 3 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 3x #. זה לא טופס רגיל ולא טופס קדקוד, ואני תמיד מעדיף לעבוד עם אחת מאותן שתי צורות. אז, הצעד הראשון שלי הוא להמיר את הבלגן לעיל לתוך טופס סטנדרטי. אנחנו עושים זאת על ידי שינוי המשוואה עד שזה נראה # y = ax ^ 2 + bx + c #.
ראשית, אנו עוסקים # (x + 1) ^ 2 #. אנחנו כותבים אותו מחדש # (x + 1) * (x + 1) #, ופשוט באמצעות הפצה, כל אשר נותן לנו # x ^ 2 + x + x + 1 #, או # x ^ 2 + 2x + 1 #.
עכשיו יש לנו # 3 (x ^ 2 + 2x + 1) + 4x ^ 2 + 3x #. אם נפשט # 3 (x ^ 2 + 2x + 3) #, זה משאיר אותנו עם # 3x ^ 2 + 6x + 3 + 4x ^ 2 + 3x #. עכשיו אנחנו יכולים לשלב כמו מונחים. # 3x ^ 2 + 4x ^ 2 # נותן לנו # 7x ^ 2 #, ו # 6x + 3x # שווים # 9x #. עכשיו יש לנו # 7x ^ 2 + 9x + 3 #, אשר בצורה סטנדרטית. לא מקבל יותר מדי נוח אם כי, כי אנחנו נהיה המרת כי לתוך קודקוד טופס תוך דקה.
כדי לפתור את טופס קודקוד, אנחנו הולכים להשלים את הכיכר. אנחנו יכולים גם להשתמש בנוסחה ריבועית או גרף את המשוואה שיש לנו עכשיו, אבל איפה זה כיף? השלמת הכיכר היא קשה יותר, אבל זה שיטה שווה ללמוד כי זה די מהר, ברגע שאתה מקבל את העניין. בואו נתחיל.
ראשית, אנחנו צריכים לקבל # x ^ 2 # כשלעצמו (ללא מקדמים פרט למספר #1# מותר). במקרה שלנו, אנחנו צריכים גורם א #7# מהכל. זה נותן לנו # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 3/7) #. מכאן, אנחנו צריכים לקחת את טווח הביניים # (9 / 7x) # ולחלק את מקדם על ידי #2#, שהוא #9/14#. ואז אנחנו מרובעים כי ויש לנו #81/196#. אנו מוסיפים זאת למשוואה שלנו, כך: # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 + 3/7) #.
המתן !!! אנחנו פשוט תקוע מספר אקראי המשוואה! אנחנו לא יכולים לעשות את זה! איך נוכל לתקן את זה? ובכן, מה אם אנחנו פשוט … מחסר את המספר שהוספנו זה עתה? לאחר מכן הערך לא השתנה #(81/196-81/196=0)#, אז אנחנו לא שבור כל הכללים, נכון? אוקיי, בואו נעשה את זה.
עכשיו יש לנו # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) #. אוקיי, אנחנו טובים עכשיו. ובכל זאת, אנחנו צריכים להמשיך לפשט, כי # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) # הוא ארוך ומסורבל. לכן, #-81/196+3/7# J #3/196#, ואנחנו יכולים לכתוב מחדש # x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 # כפי ש # (x + 9/14) * (x + 9/14) #, או # (x + 9/14) ^ 2 #. ייתכן שאתה תוהה למה אני לא לשלב #3/196# עם #81/196#. ובכן, אני רוצה ליצור ריבוע מושלם, כמו # (x + 9/14) ^ 2 #. זה בעצם כל העניין של השלמת הכיכר. # x ^ 2 + 9/7 + 3/7 # לא היה פקטורלי, ולכן מצאתי את המספר (9/2) / 2 ^ 2) שהופך אותו פקטורלי. עכשיו יש לנו ריבוע מושלם, עם הדברים הלא נעימים, הלא מושלמים שנדבקו בסוף.
אז, עכשיו יש לנו # 7 (x + 9/14) ^ 2 + 3/196) #. כמעט סיימנו, אבל אנחנו עדיין יכולים לעשות עוד דבר אחד: להפיץ את #7# ל #3/196#. זה נותן לנו # 7 (x + 9/14) ^ 2 + 3/28 #, ועכשיו יש לנו את הקודקוד שלנו! מ # 7 (x + צבע (ירוק) (9/14)) ^ 2 צבע (אדום) (+ 3/28) #, אנחנו מקבלים גם את שלנו #color (ירוק) (x) #-ערך שלנו #color (אדום) (y) #-ערך. הקודקוד שלנו הוא # צבע (כתום) (-) צבע (ירוק) (9/14), צבע (אדום) (3/28)) #. שים לב כי סימן של #color (ירוק) (x) # הרכיב מול של השלט בתוך המשוואה.
כדי לבדוק את העבודה שלנו, אנחנו יכולים פשוט גרף את המשוואה ולמצוא את הקודקוד ככה.
גרף {y = 7x ^ 2 + 9x + 3}
קודקוד הוא #(.643,.107)#, שהיא צורה עשרונית מעוגלת של #(-9/14, 3/28)#. צדקנו! עבודה טובה.
