תן 5a + 12b ו 12a + 5b להיות אורכים בצד של משולש זווית ישרה 13a + kb להיות hypotenuse, שם, b ו - K הם מספרים שלמים וחיוביים. איך אתה מוצא את הערך הקטן ביותר האפשרי של k ואת הערכים הקטנים ביותר של A ו- B עבור K זה?

תשובה:

#k = 10 #, # a = 69 #, # b = 20 #

הסבר:

לפי משפט פיתגורס, יש לנו:

# (13a + kb) ^ 2 = (5a + 12b) ^ 2 + (12a + 5b) ^ 2 #

זה:

# 169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2 = 25a ^ 2 + 120ab + 144b ^ 2 + 144a ^ 2 + 120ab + 25b ^ 2 #

#color (לבן) (169a ^ 2 + 26kab + k ^ 2b ^ 2) = 169a ^ 2 + 240ab + 169b ^ 2 #

הפחת את הצד השמאלי של שני הקצוות כדי למצוא:

# 0 = (240-26k) ab + (169-k ^ 2) b ^ 2 #

#color (לבן) (0) = b (240-26k) a + (169-k ^ 2) b)

מאז #b> 0 # אנו דורשים:

# (240-26k) a + (169-k ^ 2) b = 0 #

ואז מאז #a, b> 0 # אנו דורשים # (240-26k) # ו # (169-k ^ 2) # יש סימנים מנוגדים.

מתי #k ב- 1, 9 # שניהם # 240-26k # ו # 169-k ^ 2 # הם חיוביים.

מתי #k ב- 10, 12 # אנחנו מוצאים # 240-26k <0 # ו # 169-k ^ 2> 0 # כנדרש.

אז הערך המינימלי האפשרי של # k # J #10#.

לאחר מכן:

# -20a + 69b = 0 #

ואז מאז #20# ו #69# אין גורם משותף גדול יותר #1#, את ערכי המינימום של # a # ו # b # הם #69# ו #20# בהתאמה.