מהי הנגזרת של f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

שיטה 1:

אנו נתחיל על-ידי שימוש בכללי שינוי בסיס כדי לכתוב מחדש #f (x) # באופן שקול כמו:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

אנחנו יודעים את זה # d / dx ln x = 1 / x #.

(אם זהות זו נראית לא מוכרת, עיין בחלק מהסרטונים בדף זה לקבלת הסבר נוסף)

לכן, אנו להחיל את הכלל שרשרת:

# l 'x) lnx / ln6 (* 1 d * dx ln x / ln 6 #

נגזרת של #ln x / 6 # יהיה # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) # #

הפשט נותן לנו:

#f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) #

שיטה 2:

הדבר הראשון שיש לציין הוא זה רק # d / dx ln (x) = 1 / x # איפה #ln = log_e #. במילים אחרות, רק אם הבסיס # e #.

לכן עלינו להמיר את # log_6 # לביטוי בלבד #log_e = ln #. אנו עושים זאת באמצעות העובדה

# log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln # מתי # n = e #

עכשיו, בואו #z = (ln x / ln 6) # # אז זה #f (x) = z ^ 2 #

לכן, (dz / dx) = d 2 / dx (ln x / ln 6) # d / dx z ^ 2 = (d / dz z ^ 2)

# (2z) / (ln 6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x #

# (2 / ln 6) (ln x / ln 6) (1 / x) = (2 ln x) / (x * (ln 6) ^ 2) # #