כיצד אתה מעריך את [1 + 3x) ^ (1 / x)] כאשר x מתקרב לאינסוף?

תשובה:

#lim_ (xrarroo) (1 + 3x) ^ (1 / x) = 1 #

הסבר:

הולך להשתמש טריק nifty wee זה עושה שימוש בעובדה פונקציות מעריכי טבעי יומן הן פעולות הפוכה. זה אומר שאנחנו יכולים ליישם את שניהם מבלי לשנות את הפונקציה.

(1 x 3x) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) e ^ (ln (1 + 3x) ^ (1 / x)) #

באמצעות כלל המעריך של יומני אנחנו יכולים להביא את הכוח למטה במתן:

#lim_ (xrarroo) e ^ (1 / xln (1 + 3x) #

פונקציה מעריכית היא רציפה כך יכול לכתוב את זה כמו

# e ^ (lim_ (xrarroo) 1 / xln (1 + 3x) #

ועכשיו רק להתמודד עם הגבול ולזכור תת אותו בחזרה לתוך מעריכי.

# xln (1 + 3x) = lim_ (xrarroo) (ln (1 + 3x)) (x) #

גבול זה הוא של הצורה הבלתי מוגדרת # oo / oo # אז להשתמש L'Hopital של.

# (xlx) (ln (1 + 3x)) / d = (dx) (x)) = d (dx) (ln (1 + 3x)) (3 / (1 + 3x)) = 0 #

מכאן את הגבול של המעריך הוא 0 כך הגבול הכולל הוא # e ^ 0 = 1 #