אורך 20 ס"מ של חוט הוא חתך לשתי חתיכות. אחד החלקים משמש ליצירת שטח של ריבוע?

אורך 20 ס"מ של חוט הוא חתך לשתי חתיכות. אחד החלקים משמש ליצירת שטח של ריבוע?
Anonim

תשובה:

# "שטח כולל מינימלי = 10.175 ס"מ ²" #

# "שטח כולל מרבי = 25 ס"מ ²" #

הסבר:

# "שם x אורך היצירה ליצירת ריבוע" # #

# "ואז השטח של הריבוע הוא" (x / 4) ^ 2 "." # #

# "ההיקף של המשולש הוא" 20-x ". # #

# "אם y הוא אחד הצדדים השווים של המשולש, אז יש לנו #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# 2 = (+ 2 + 4 sqrt) 2 (2) # 2 =

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# # (+ 12) + (2 +) (+ x)

# + x + 2 + 16 + x ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) - 40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# + xsrt (1) + 1 / (12 + 8sqrt (2)) - (40 / (12 + 8sqrt (2)) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)) #

# "זוהי שרבון המינימום עבור פרבולה" #

# x x ^ 2 + b x + c = 0 "is" x = -b / (2 * a), אם a> 0. # #

# "המקסימום הוא" x-> oo ", אם a> 0. # #

# "אז המינימום הוא # #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2))) # #

# (4 + 8) / (8 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "סה"כ שטח =" 10.175 "cm²" # #

# "המקסימום הוא x = 0 או x = 20" # #

# "אנחנו בודקים את האזור:" #

# = "= = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

# "כאשר" x = 20 => "שטח =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" # #

# "אז השטח הכולל המרבי הוא 25 ס"מ ²." #

תשובה:

השטח המינימלי הוא #10.1756# ואת המקסימום הוא #25#

הסבר:

ההיקף של זווית ישרה משולש צד של צד # a # J # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # # ואת השטח שלה הוא # a ^ 2/2 #,

תן חתיכה אחת להיות #איקס# ס"מ. שממנו אנו יוצרים משולש זווית ישרה משולש. ניכר כי צד של המשולש הימני זווית משולש יהיה # x / (2 + sqrt2) # # ואת האזור שלה יהיה

# 2 ^ 2/2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

ההיקף של חלק אחר של מחרוזת אשר יוצר ריבוע הוא # (20-x) # ואת הצד של הריבוע הוא # (20-x) / 4 # השטח שלה הוא # (20-x) ^ 2/16 # ואת השטח הכולל # T # של שני הוא

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) # #

שים לב לזה # 3-2sqrt2> 0 #, ומכאן מקדם # x ^ 2 # הוא חיובי ולכן תהיה לנו מינימום ואנחנו יכולים לכתוב # T # כפי ש

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

כפי ש # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # הוא תמיד חיובי, יש לנו ערך מינימלי של # T # מתי # x = 11.8596 #.

שימו לב כי מבחינה תיאורטית אין מקסימום עבור הפונקציה, אבל כערך של #איקס# שוכב בין #0,20#, ומתי # x = 0 #, יש לנו # T = 0.1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

ומתי # x = 20 # מתי # T = 0.1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

ומכאן מקסימה #25#

גרף {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}