תן RR מסומן קבוצה של מספרים אמיתיים. מצא את כל הפונקציות: RR-> RR, מספק ABS (f (x) - f (y)) = 2 ABS (x-y) עבור כל x, y שייך RR.?

תשובה:

#f (x) = pm 2 x + C_0 #

הסבר:

אם #abs (f (x) -f (y)) = 2abs (x-y) # לאחר מכן #f (x) # הוא ליפשיץ מתמשך. אז את הפונקציה #f (x) # הוא שונה. לאחר מכן, #abs (f (x) -f (y)) / (ABS (x-y)) = 2 # או

# (s) (f (x) -f (y)) / (x-y) = 2 # עכשיו

(x->) ABS ((f (x) - y () (xy)) = abs (lim_ (x-> y) (f (x) -f (y)) (xy)) = ABS (f '(y)) = 2 #

לכן

#f (x) = pm 2 x + C_0 #