האם תעזור לי? int_0 ^ (pi / 2) (e ^ (2x) * sinx) dx

תשובה:

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

הסבר:

זה דורש אינטגרציה על ידי חלקים כדלקמן. המגבלות יושמטו עד הסוף

#int (e ^ (2x) sinx) dx #

(dv) dx dx = uv-intv (du) / (dv) dx #

# u = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#color (אדום) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

אינטגרל השני נעשה גם על ידי חלקים

# u = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = cosx => v = sinx #

(2x) (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #color (אדום)

# colx + 2e ^ (2x) sinx-4color (אדום) (#)

#:. 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

עכשיו לשים את גבולות ב

# I = = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

# (e ^ pi (2sin (pi / 2) -cos (pi / 2)) / 5) - (e ^ (0) (sin0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

תשובה:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

הסבר:

למרות שהתשובה שכבר סיפקה היא מושלמת, רק רציתי להצביע על דרך קלה יותר להגיע לאותה תשובה באמצעות גישה קצת יותר מתקדמת - כי באמצעות מספרים מורכבים.

אנחנו מתחילים עם היחס המפורסם

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

איפה # i = sqrt {-1} #, וציין כי זה אומר

# (x) = = Im (e ^ {2 + i} x)) # #

איפה # Im # מציין את החלק הדמיוני.

לכן

# (2) i = (2 + i) x) dx) # 2 /

# = I = (2 + i) x / / 2 + i} | / p ^ / 2} = = אני})#

# = I = (= i = pi -1} / {2 + i} פעמים {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + ie ^ pi) (2-i)) #

# = 1/5 (- 1) פעמים (-1) + e ^ pi times 2 = = {2e ^ pi + 1} / 5 #