תן vc (v_1) = [2), [3]] ו- vec (v_1) = [4], (6)] מהו טווח מרחב וקטור המוגדר על ידי vec (v_1) ו- vec (v_1)? להסביר את התשובה שלך בפירוט?

תשובה:

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambdain #

הסבר:

בדרך כלל אנחנו מדברים על span של קבוצה של וקטורים, ולא של מרחב וקטור שלם. נמשיך אם כן לבחון את טווח # {vecv_1, vecv_2} # בתוך מרחב וקטור נתון.

טווח של קבוצה של וקטורים במרחב וקטור הוא קבוצה של כל שילובים ליניארי סופי של אותם וקטורים. כלומר, בהתחשב בתת-קבוצה # S # של חלל וקטור מעל שדה # F #, יש לנו

# "span" (S) = ninNN, s_iinS, lambda_iinf #

(קבוצה של כל סכום סופי עם כל מונח להיות תוצר של סקלר ו אלמנט של # S #)

לשם הפשטות, נניח כי מרחב הווקטור הנתון שלנו הוא מעל תת שדה # F # of # CC #. לאחר מכן, החלת ההגדרה לעיל:

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambda_iinf #

# = lambda_1vecv_1 + lambda_2vecv_2 #

אבל שים לב # vecv_2 = 2vecv_1 #, ולכן, עבור כל # lambda_1, lambda_2inf #,

# lambda_1vecv_1 + lambda_2vecv_2 = lambda_1vecv_1 + lambda_2 (2vecv_1) = (lambda_1 + 2lambda_2) vecv_1 #

ואז, כמו כל שילוב ליניארי של # vecv_1 # ו # vecv_2 # יכול להתבטא כמספר סקלרי של # vecv_1 #, וכל מספר סקלרי של # vecv_1 # יכול להתבטא כצירוף ליניארי של # vecv_1 # ו # vecv_2 # על פי הגדרה # lambda_2 = 0 #, יש לנו

# "span" ({vecv_1, vecv_2}) = lambdavecv_1 #