שני לווינים P_ "1" ו P_ "2" הם מסתובבים במסלולים של רדיוסים R ו- R4. היחס בין המהירות הזוויתית המרבית והמינימלית של הקו המצטרף ל- P_ "1" ו- P_ "2" הוא ??

תשובה:

#-9/5#

הסבר:

על פי החוק השלישי של קפלר, # T ^ 2 propto R ^ 3 פירושו אומגה פרופטו R ^ {- 3/2}, אם מהירות הזווית של הלווין החיצוני היא # אומגה #, זה של הפנימי הוא #omega פעמים (1/4) ^ {- 3/2} = 8 אומגה #.

תן לנו לשקול את זה # t = 0 # להיות רגע שבו שני לוויינים הם קוליניאריות עם כוכב הלכת אמא, ולתת לנו לקחת את הקו המשותף כמו #איקס# ציר. ואז, את הקואורדינטות של שני כוכבי הלכת בזמן # t # הם # (R cos (8omega t), R חטא (8omega t)) # ו # (4R cos (אומגה לא), חטא 4R (אומגה לא)) #, בהתאמה.

תן # theta # להיות זווית הקו המחבר את שני לוויינים עושה עם #איקס# ציר. קל לראות זאת

(4 אומגה) t (= אומגה t) - (4 אומגה) t (= אומגה)) / (4 cos (אומגה t) -cos (8 אומגה לא)) #

בידול תשואות

# (2) (d) / dt = d / dt (4 חטא (אומגה לא) - (8 אומגה)) / (4 cos (אומגה t) -cos (8 אומגה t)

# = (4 cos (אומגה t) -cos (8 אומגה לא)) ^ - 2 פעמים #

# (4) cos (אומגה t) -cos (8 אומגה t)) (4 אומגה cos (אומגה לא) -8omega cos (8 אומגה לא)) - #

#qquad (4 חטא (אומגה t) -Sin (8 אומגה t)) (- 4omega חטא (אומגה לא) +8 אומגה חטא (8 אומגה לא))

לכן

# (4 cos (אומגה t) -cos (8 אומגה t)) ^ 2 (1 + ((4 חטא (אומגה t) -Sin (8 אומגה t)) (4 cos (אומגה t) -cos (8 אומגה t))) ^ 2 (d theta) / dt #

# אומגה (4 אומגה t) + 2 cos ^ 2 (אומגה t) # #

# qquad qqad + (4 חטא ^ 2 (אומגה t) -9 חטא (אומגה לא) cos (8 אומגה t) + 2sin ^ 2 (אומגה לא)) #

# = 4 אומגה 6-9cos (7 אומגה t) מרמז #

# (17 -8 cos (7 אומגה t)) (d theta) / dt = 12 אומגה (2 - 3 cos (7 אומגה t)) מרמז #

# (d תטא) / dt = 12 אומגה (2 - 3 cos (7 אומגה t)) / (17 -8 cos (7 אומגה t)) שווה 12 אומגה f (cos (7 אומגה לא)) #

איפה הפונקציה

# (x) = (2-3x) / (17-8x) = 3/8 - 35/8 1 / (17-8x) #

יש נגזרת

# f ^ '(x) = -35 / (17-8x) ^ 2 <0 #

ולכן הוא מונוטוני ירידה במרווח #-1,1#.

לכן, מהירות זוויתית # (d theta) / dt # הוא מקסימלי #cos (7 אומגה) # הוא המינימום, ולהיפך.

לכן, # ((d theta) / dt) _ "max" = 12 אומגה (2 - 3 פעמים (-1)) / (17-8 פעמים (-1)) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 פעמים אומגה 5/25 = 12/5 אומגה #

# (d)) "min" = 12 אומגה (2 - 3 פעמים 1) / (17-8 פעמים 1) #

#qquad qquad qquad qquad = 12 פעמים אומגה (-1) / 9 = -4/3 אומגה #

ולכן היחס בין השניים הוא:

# 12/5 אומגה: -4 / 3 אומגה = -9: 5 #

הערה העובדה ש # (d theta) / dt # שינויים סימן הוא הגורם למה שנקרא לכאורה תנועה מדרדר