מה כיף, שימושי, עובדה מתמטית אתה יודע כי הוא לא נלמד בדרך כלל בבית הספר?

תשובה:

כיצד להעריך "מגדלי מעריצים", כגון #2^(2^(2^2))#, וכיצד לעבוד את הספרה האחרונה של # 2 ^ n, # # ninNN #.

הסבר:

כדי להעריך את "המגדלים" האלה, אנחנו מתחילים בראש ועובדים את דרכנו למטה.

לכן:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

על הערה דומה, אבל לא קשור, אני גם יודע איך להבין את הספרות האחרונות של #2# העלה לכל גורם טבעי. הספרה האחרונה של #2# שגדל למשהו תמיד מחזור בין ארבעה ערכים: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

אז אם אתה רוצה למצוא את הספרה האחרונה של # 2 ^ #, למצוא היכן הוא נמצא במחזור, ואתה תדע הספרה האחרונה שלה.

תשובה:

אם #n> 0 # ו # a # הוא קירוב #sqrt (n) #, לאחר מכן:

#) + b + (2a + b / (2a + b / (2a + …)

איפה #b = n-a ^ 2 #

הסבר:

נניח שאנחנו רוצים למצוא את השורש הריבועי של מספר כלשהו #n> 0 #.

יתר על כן, אנו רוצים שהתוצאה תהיה איזה שבר מתמשך שחוזר על כל צעד ושעל.

נסה:

#) + b + (2a + b / (2a + b / (2a + …)

# a + b (+ a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))) # #

#color (לבן) (sqrt (n)) a + b / (a + sqrt (n)) #

סחיטה # a # משני הקצוות להגיע:

#sqrt (n) -a = b / (a + sqrt (n)) #

הכפל את שני הצדדים על ידי #sqrt (n) + # להשיג:

#b = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

אז אם # a ^ 2 # הוא קצת פחות # n #, לאחר מכן # b # יהיה קטן ואת החלק המתמשך יהיה להתכנס במהירות.

לדוגמה, אם יש לנו # n = 28 # ולבחור # a = 5 #, אז אנחנו מקבלים:

#b = n-a ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

לכן:

#) + (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 /

אשר נותן לנו קירובים:

#sqrt (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

#sqrt (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

מחשבון אומר לי #sqrt (28) ~~ 5.291502622 #

אז זה לא מתכנס במהירות מיוחדת.

לחלופין, אנו עשויים לשים # n = 28 # ו # a = 127/24 # למצוא:

#b = n-a = 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

לכן:

# 127 (12) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12 -…))) # #

נותן לנו קירובים:

#sqrt (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

#sqrt (28) ~ ~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

זה מתכנס הרבה יותר מהר.

תשובה:

אתה יכול למצוא קירובים לשורשים מרובעים באמצעות רצף מוגדר רקורסיבית.

הסבר:

#צבע לבן)()#

השיטה

בהתחשב במספר שלם חיובי # n # אשר אינו ריבוע מושלם:

• תן #p = floor (sqrt (n)) # להיות מספר שלם חיובי הכיכר שלה לא יעלה # n #.

• תן #q = n-p ^ 2 #

• הגדר רצף של מספרים שלמים על ידי:

  # a (i = 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "עבור i" = 1): #

אז היחס בין רצופים רצף של רצף נוטים לכיוון # p + sqrt (n) #

#צבע לבן)()#

דוגמא

תן # n = 7 #.

לאחר מכן #p = קומה (sqrt (7)) = 2 #, מאז #2^2=4 < 7# אבל #3^2 = 9 > 7#.

לאחר מכן # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

אז הרצף שלנו מתחיל:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

בתיאוריה היחס בין מונחים רצופים צריך להיות נוטה # 2 + sqrt (7) #

בוא נראה:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

שים לב ש # 2 + sqrt (7) ~ 4.645751311 #

#צבע לבן)()#

איך זה עובד

נניח שיש לנו רצף מוגדר על ידי ערכים נתון של # a_1, a_2 # וכלל:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

עבור כמה קבועים # p # ו # q #.

שקול את המשוואה:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

שורשי משוואה זו הם:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

אז כל רצף עם מונח כללי # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # יספק את כלל החזרה שציינו.

100 post

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2):} #

ל # A # ו # B #.

אנחנו מוצאים:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

ולכן:

# A = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# B = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

אז עם ערכים אלה של # x_1, x_2, A, B # יש לנו:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

אם #q <3p ^ 2 # לאחר מכן #abs (x_2) <1 # ואת היחס בין מונחים רצופים יטה לכיוון # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

תשובה:

חלוקה מודולרית

הסבר:

חלוקה מודולארית היא בדיוק כמו חלוקת למעט התשובה היא השאר במקום הערך בפועל. עדיף מ #-:# סמל, אתה משתמש #%# סמל.

לדוגמה, בדרך כלל, אם אתה צריך לפתור #16-:5# היית מקבל #3# היתרה #1# או #3.2#. עם זאת, באמצעות חלוקה מודולרית, #16%5=1#.

תשובה:

הערכת ריבועים בסיכומים

הסבר:

בדרך כלל, אתה צריך לדעת ריבועים כגון #5^2=25#. עם זאת, כאשר מספרים לקבל גדול יותר כגון #25^2#, זה נהיה יותר קשה לדעת את החלק העליון של הראש.

הבנתי כי לאחר זמן מה, הריבועים הם רק סכומים של מספרים מוזרים.

אני מתכוון לזה:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # איפה # k # הוא ערך הבסיס מינוס #1#

לכן #5^2# יכול להיות כתוב כ:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

זה ייתן לך:

#1+3+5+7+9#

זה, למעשה, הוא #25#.

מאז המספרים תמיד עולה על ידי #2#, אני יכול להוסיף את המספר הראשון והאחרון ולאחר מכן להכפיל # k / 2 #.

אז #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … 49 +

אז אני יכול פשוט לעשות #(49+1)(25/2)# וקבל #25^2# אשר #625#.

זה לא ממש מעשי אבל זה מעניין לדעת.

#צבע לבן)()#

בונוס

בידיעה ש:

# n = 2 = overbrace (1 + 3 + 5 +) + (2n-1)) ^ n n terms = = (1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

מאפשר לנו לפתור כמה בעיות על הבדלים של ריבועים.

לדוגמה, מה הם כל הפתרונות מספרים שלמים וחיוביים #m, n # of # m ^ 2-n ^ 2 = 40 # ?

זה מצמצם למציאת מה סכומים של מספרים שלמים רצופים מסתכמים להוסיף עד #40#…

# 40 = overbrace (19 + 21) ^ "ממוצע 20" #

#color (לבן) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17)

# (+) + (+ 1 + 21) / 2) ^ 2 + ((+ 1) / 2) ^ 2 #

#color (לבן) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = overbrace (7 + 9 + 11 + 13) ^ "ממוצע 10" #

#color (לבן) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

# 1 (+) (1 + 13) / 2) ^ 2 - (1 + 5) / 2) ^ 2 #

#color (לבן) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #