מה הוא חלק בלתי נפרד של e ^ (x ^ 3)?

אינכם יכולים לבטא את האינטגרל הזה במונחים של פונקציות בסיסיות.

בהתאם למה שאתה צריך את האינטגרציה, אתה יכול לבחור דרך של אינטגרציה או אחרת.

אינטגרציה באמצעות סדרת כוח

נזכיר את זה # e ^ x # הוא אנליטי ב #mathbb {R} #, לכן #forall x in mathbb {R} # מחזיק השוויון הבא

# e ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

וזה אומר

# = ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

כעת תוכל לשלב:

#int ^ e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ {/ n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

אינטגרציה באמצעות פונקציית Gamma לא שלמה

ראשית, תחליף # t = -x ^ 3 #:

#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

הפונקציה # e ^ {x ^ 3} # הוא רציף. משמעות הדבר היא כי התפקידים הפרימיטיביים שלה הם #F: mathbb {R} to mathbb {R} # כך ש

#F (y) = c + int_0 ^ y ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

וזה מוגדר היטב בגלל הפונקציה #f (t) = e ^ {- t} t ^ {- 2/3} הוא כזה עבור #t to 0 # היא מחזיקה #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #, כך אינטגרל לא תקין # int_0 ^ s f (t) dt # הוא סופי (אני קורא # s = -y ^ 3 #).

אז יש לך את זה

#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

ציין את זה #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. משמעות הדבר היא כי עבור #t to + infty # אנחנו מקבלים את זה #f - t = = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, אז זה + infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. אז בעקבות אינטגרל לא תקין של #f (t) # הוא סופי:

# ג 'אמה (1/3) # d' = ג '.

אנחנו יכולים לכתוב:

#int ^ ^} dx = c-1/3 (int_0 ^ {infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt #

זה

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

בסוף אנחנו מקבלים

#int ^ e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 גמא (1/3, t) = C + 1/3 גמא (1/3, -x ^ 3) #