מה הוא מחצית החיים של (Na = 24) אם עוזר מחקר עשה 160 מ"ג של נתרן רדיואקטיבי (Na ^ 24) ומצא כי נותרו רק 20 מ"ג שמאל 45 שעות מאוחר יותר?

תשובה:

#color (כחול) ("מחצית החיים היא 15 שעות") #

הסבר:

אנחנו צריכים למצוא משוואה של הטופס:

#A (t) = A (0) e ^ (kt) #

איפה:

#bb (A (t)) = # את הכמות לאחר זמן t.

#bb (A) (0) = # הסכום בהתחלה. כלומר t = 0.

# bbk = # גורם הצמיחה / ריקבון.

# bbe = # מספר אוילר.

# bbt = # הפעם, במקרה זה שעות.

אנו מקבלים:

#A (0) = 160 #

#A (45) = 20 #

אנחנו צריכים לפתור עבור # bbk #:

# 20 = 160e ^ (45k) #

מחלק ב- 160:

# 1/8 = e ^ (45k) #

נטילת לוגריתמים טבעיים משני הצדדים:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

לפיכך:

#ln (1/8) = 45k #

חלוקת 45:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

#A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

מכיוון שחצי מחצית החיים הם פרק הזמן שבו יש לנו חצי מהסכום ההתחלתי:

#A (t) = 80 #

אז אנחנו צריכים לפתור עבור ב:

# 80 = 160 * (1/8) ^ (t / 45) # #

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) # #

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) #

נטילת לוגריתמים טבעיים:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15 #

מחצית החיים היא 15 שעות.

תשובה:

15 שעות

הסבר:

• דרך מהירה

כמו כמות החומר מתפורר חצי מעל כל אחד מחצית החיים (ומכאן השם), halfving את הסכום צעדים דורש 3 שלבים להגיע מ 160 ל 20:

• # 160 עד 80 עד 20 #

ו #45 = 3 * 15#

אז מחצית החיים היא 15 שנים.

• דרך רשמית יותר

לחצי חיים # tau #, איפה # X (t) # הוא כמות (מסה / מספר של חלקיקים / וכו ') שנותרו בזמן t:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad square #

לכן:

# X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2tau) = X_o / 4, … #

חיבור הערכים שניתנו #כיכר#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#imples (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 # #

#implies 45 / tau = 3 מרמז tau = 15 #