תשובה:
# x = arctan (-3) + 180 ^ Circ k או x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k quad # עבור מספר שלם # k. #
הסבר:
עבדתי את זה בשתי דרכים שונות אבל אני חושב שהדרך השלישית היא הטובה ביותר. יש כמה נוסחאות זווית כפולה עבור קוסינוס. בואו לא נתפתה על ידי אף אחד מהם. בואו נמנע משוואות היישור גם כן.
#cos 2x + 2 sin 2x + 2 = 0 #
#cos 2x + 2 sin 2x = -2 #
השילוב הליניארי של קוסינוס וסינוס הוא שלב הקוסינוס שעבר שלב.
תן # r = sqrt {1 ^ 2 + 2 ^ 2} # ו
# theta = טקסט {Arc} טקסט {tan} (2/1) #
הצבעתי על המשיק ההפוך העיקרי, כאן ברבע הראשון, סביב # theta = 63.4 ^ circ #. אנחנו בטוחים
#r cos theta = sqrt {5} (1 / sqrt {5}) = 1 #
# r חטא theta = sqrt {5} (2 / sqrt {5}) = 2 #
אז אנחנו יכולים לשכתב את המשוואה שלנו
#sqrt {5} (1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) חטא 2x) = -2 #
# 1 / sqrt {5}) cos 2x + (2 / sqrt {5}) sin 2x = -2 / sqrt {5} #
# cos 2x cos theta + חטא 2x חטא theta = -2 / sqrt {5} #
#cos (2x - theta) = חטא (-theta) # #
#cos (2x - theta) = cos (90 ^ circ + theta) #
זכרו תמיד את הפתרון הכללי #cos x = cos # J # x = pm a + 360 ^ circ k quad # עבור מספר שלם # k #.
# 2x - theta = pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# 2x = theta pm (90 ^ circ + theta) + 360 ^ circ k #
# x = theta / 2 pm (45 ^ circ + theta / 2) + 180 ^ circ k #
לוקח את השלטים אחד בכל פעם, # x = theta + 45 ^ circ + 180 ^ circ k או x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
#phi = theta + 45 ^ circ # הוא קבוע אנחנו יכולים לנסות להשיג ביטוי טוב יותר עבור:
#tan (phi) = tan (ארקטן (2) + 45 ^ circ) #
# {tan arctan (2) + tan (45 ^ circ)} / {1 tan (arctan (2)) tan (45 ^ circ)} = {2 + 1} / {1 - 2} = -3 #
אנחנו יודעים # phi # הוא ברבע השני, לא בטווח הרגיל של הערך העיקרי.
#phi = טקסט {Arc} טקסט {tan} (- 3) + 180 ^ circ #
זה מסתבר לא משנה כי אנחנו מוסיפים # 180 ^ circ k # ל # phi # בפתרון הכללי בכל מקרה. לשים את הכל ביחד, # x = arctan (-3) + 180 ^ Circ k או x = -45 ^ circ + 180 ^ circ k #
אנחנו לא צריכים להיות קפדניים לגבי הערך העיקרי של arctan; שכן אנו מוסיפים # 180 ^ circ k # כל ערך יעשה. אנחנו יכולים לכתוב את הראשון # x = arctan (-3) # עם ה # 180 ^ circ k # משתמע, אבל בואי נשאיר את זה כאן.
