(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) בוא נעשה את זה ???

תשובה:

#a = 1, b = 1 #

הסבר:

פתרון הדרך המסורתית

# 1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b = 2 = 0 #

עכשיו לפתור עבור # a #

# 1 = 1/2 (1 + b sq sq 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # אבל # a # חייב להיות אמיתי ולכן המצב

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # או # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

עכשיו להחליף ולפתור עבור # a #

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # והפתרון הוא

#a = 1, b = 1 #

דרך נוספת לעשות את אותו הדבר

# 1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b = 2 = 0 #

אבל

# 1 - a + a - 2 - b - a b + b = 2 = (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2 (a-1) (b-1)

וסיום

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2 (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

תשובה:

ד יש בדיוק זוג אחד פתרון # (a, b) = (1, 1) #

הסבר:

בהתחשב you

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

שים לב שאנחנו יכולים לעשות את זה לתוך בעיה הומוגנית סימטרי נחמד על ידי generalising ל:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

ולאחר מכן להגדיר # c = 1 # בסופו של דבר.

בהרחבת שני צדדיה של בעיה כללית זו, יש לנו:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

הפחתת צד שמאל משני הצדדים, אנו מקבלים:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2ab-2bc-2ca #

#color (לבן) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2ca + a ^ 2 #

#color (לבן) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

עבור ערכים ריאליים של # a #, # b # ו # c #, זה יכול להחזיק רק אם כל # (a-b) #, # (b-c) # ו # (c-a) # אפס ומכאן:

#a = b = c #

ואז לשים # c = 1 # אנו מוצאים את הפתרון היחיד לבעיה המקורית, כלומר # (a, b) = (1, 1) #