מהו המרחק בין (0, 0, 8) לבין (9, 2, 0)?

תשובה:

המרחק הוא #sqrt (149) #

הסבר:

המרחק בין שתי נקודות

# (x_1, y_1, z_1) #

ו

# (x_2, y_2, z_2) #

in # RR ^ 3 # (שלושה ממדים) ניתנת על ידי

# "מרחק" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) # #

החלת אותו על הבעיה בהישג יד, אנחנו מקבלים את המרחק בין #(0, 0, 8)# ו #(9, 2, 0)# כפי ש

מס '(81 + 4 + 64) = sqrt (149) # = "+" (0)

להלן הסבר לגבי מקור נוסחת המרחק, ואינו נחוץ להבנת הפתרון הנ"ל.

נוסחת המרחק שניתנה לעיל נראית דומה באופן חשוד לנוסחת המרחק # RR ^ 2 # (שני ממדים):

# "מרחק" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # #

אשר באה מיישום פשוט של משפט פיתגורס, על ידי ציור משולש ימין בין שתי נקודות עם הרגליים במקביל #איקס# ו # y # צירים.

מתברר, # RR ^ 3 # הגרסה ניתן לגזור באופן דומה. אם נשתמש (לכל היותר) 3 שורות כדי לחבר שתי נקודות, במקביל מקביל #איקס#, # y #, ו # z # צירים, אנחנו מקבלים קופסה עם נקודות כמו פינות הפוכה. אז, בואו להבין איך לחשב את המרחק על פני האלכסון של קופסה.

אנחנו מנסים להבין את אורך הקו האדום #color (אדום) (AD) #

כמו זה הוא hypotenuse של המשולש # ABD #, מתוך משפט פיתגורס:

# (צבע (אדום) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (צבע (כחול) (BC)) ^ 2 #

# => צבע (אדום) (AD) = sqrt (AB) ^ 2 + (צבע (כחול) (BC)) ^ 2) "(i)" #

למרבה הצער, אין לנו אורך #color (כחול) (BD) # כמו נתון. כדי לקבל את זה, אנחנו חייבים שוב ליישם את משפט פיתגורס, הפעם למשולש # BCD #.

# (צבע (כחול) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

כפי שאנחנו רק צריכים את הכיכר של #color (כחול) (BD) #, עכשיו אנחנו יכולים להחליף # ("ii") # לתוך #("אני")#:

# 2 (+) + (2) + (+) (+) + (+) +

לבסוף, אם יש לנו # A # ב # (x_1, y_1, z_1) # ו # D # ב # (x_2, y_2, z_2) #, אז יש לנו את האורך

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

החלפת אלה לתוך האמור לעיל נותן לנו את התוצאה הרצויה.

כמו הערה נוספת, בעוד שאנחנו יכולים רק בקלות לעשות הוכחות גיאומטריות עד 3 ממדים, מתמטיקאים יש מרחק כללי # RR ^ n # (# n # ממדים). המרחק בין

# (x_1, x_2, …, x_n) # ו # (y_1, y_2, …, y_n) # זה מוגדר כ

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

אשר מתאים לדפוס מ # RR ^ 2 # ו # RR ^ 3 #.