איך אתה מוצא את הגבול של (arctan (x)) / (5x) כמו x מתקרב 0?

תשובה:

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) = 1/5 #

הסבר:

כדי למצוא את המגבלה הזו, שים לב כי הן המונה והן המכנה #0# כפי ש #איקס# גישות #0#. כלומר, נקבל צורה לא ברורה, וכך נוכל ליישם את שלטון בית החולים.

#lim_ (x-> 0) (arctan x) / (5x) -> 0/0 #

על ידי החלת הכלל של L'L'Hospital, אנו לוקחים את הנגזרת של המונה והמכנה, נותן לנו

(1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (0) +5) = 1/5 #

אנחנו יכולים גם לבדוק את זה על ידי גרף הפונקציה, כדי לקבל מושג מה #איקס# גישות.

גרף של #arctan x / (5x) #:

גרף {(ארקטן x) / (5x) -0.4536, 0.482, -0.0653, 0.4025}

תשובה:

גישה ארוכה יותר באמצעות טריג מוסבר להלן.

הסבר:

רק למקרה שאתה לא מרגיש נוח עם חוק של לופיטל, או שעדיין לא נחשפת אליו, גישה אחרת לפתרון הבעיה כוללת שימוש בהגדרת הפונקציה arctangent.

נזכיר כי אם # tantheta = x #, לאחר מכן # theta = arctanx #; זה בעצם אומר arctangent הוא ההפך של משיק. באמצעות מידע זה, אנו יכולים לבנות משולש שבו # tantheta = x # ו # theta = arctanx #:

מן התרשים, ברור כי # tantheta = x / 1 = x #. מאז # tantheta = sintheta / costheta #, אנו יכולים לבטא זאת כך:

# tantheta = x #

# -> sintheta / costheta = x #

שימוש זה בתוספת העובדה # theta = arctanx #, אנחנו יכולים לעשות תחליפים במגבלה:

#lim_ (x-> 0) arctanx / (5x) #

# -> lim_ (theta-> arctan0) theta / (5sintheta / costheta) # #

# -> lim_ (theta-> 0) theta / (5sintheta / costheta) # #

זה שווה ל:

# the_t_ (0) 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta * lim_ (theta-> 0) costheta / sintheta #

# -> 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

אנחנו יודעים את זה #lim_ (x-> 0) sintheta / theta = 1 #; לכן #lim_ (x-> 0) 1 / (sintheta / theta) = 1/1 # או #lim_ (x-> 0) theta / sintheta = 1 #. ומאז # cos0 = 1 #, הגבול מעריך את:

# 1/5 * lim_ (theta-> 0) theta / sintheta * lim_ (theta-> 0) costheta #

#->1/5*(1)*(1)=1/5#