יש לנו = X ^ 3-5X ^ 2 + a, ainRR.How כדי להוכיח כי f יש לכל היותר שורש ב ZZ?

תשובה:

ראה למטה

הסבר:

משפט שורש Rational קובע את הדברים הבאים: נתון פולינום עם מקדמים שלם

#f (x) = a_n x ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + … + a_1x + a_0 #

כל ה רציונלי פתרונות של # f # הם בצורת # p / q #, איפה # p # מחלק את המונח הקבוע # a_0 # ו # q # מחלק את המונח המוביל # a_n #.

מאז, במקרה שלך, # a_n = a_3 = 1 #, אתה מחפש שברים כמו # p / 1 = p #, איפה # p # מתחלק # a #.

אז, אתה לא יכול להיות יותר # a # פתרונות שלמים: יש בדיוק # a # מספרים בין #1# ו # a #, ואפילו במקרה הטוב הם כולם מתחלקים # a # והם פתרונות של # f #.