איך מוצאים את סכום הסדרה הגיאומטרית האינסופית 10 (2/3) ^ n כאשר n = 2?

תשובה:

גם התשובה היא #40/9# או #40/3# בהתאם למה שהתכוון לשאלה.

הסבר:

טוב אם #n = 2 # אז אין סכום, התשובה היא רק:

#10(2/3)^2 = 10(4/9) = 40/9#

אבל אולי השאלה נועדה לבקש את הסכום האינסופי החל מ # n = 2 # כך שהמשוואה היא:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ #

במקרה זה, היינו מחשבים אותו על ידי הראשון וציין כי כל סדרה גיאומטרית ניתן לראות את היותו של הטופס:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar ^ n #

במקרה זה, הסדרה שלנו #a = 10 # ו #r = 2/3 #.

נציין גם כי:

#sum_ (n = 0) ^ infty ar = n = asum_ (n = 0) ^ infty r ^ n #

אז אנחנו יכולים פשוט לחשב את הסכום של סדרה גיאומטרית # (2/3) ^ # ולאחר מכן להכפיל את הסכום על ידי #10# כדי להגיע לתוצאה שלנו. זה עושה את הדברים קלים יותר.

יש לנו גם את המשוואה:

#sum_ (n = 0) ^ infty r ^ n = 1 / (1-r) #

זה מאפשר לנו לחשב את סכום הסדרה החל מ # n = 0 #. אבל אנחנו רוצים לחשב את זה # n = 2 #. כדי לעשות זאת, אנו פשוט לחסר את # n = 0 # ו # n = 1 # במונחים של מלוא הסכום. כותב את מספר התנאים הראשונים של הסכום החוצה אנו יכולים לראות כי זה נראה כמו:

#1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + …#

אנחנו יכולים לראות את זה:

#sum_ (n = 2) ^ infty 10 (2/3) ^ n = 10sum_ (n = 2) ^ infty (2/3) ^ n = 10 sum_ (n = 0) ^ infty (2/3) ^ n - (1 + 2/3) #

#=101/(1-(2/3)) - (1 + 2/3)#

#= 103 - 5/3 = 109/3 - 5/3 = 40/3#