X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 יש שורש אחד x = sqrt (2) + sqrt (3). מהם שלושת השורשים האחרים ומדוע?

תשובה:

שלושת השורשים האחרים הם #x = sqrt (2) -qqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # ו #x = -sqrt (2) -qqrt (3) #. באשר למה, תן לי לספר לך סיפור …

הסבר:

מר Rational חי בעיר אלגברה.

הוא מכיר את כל המספרים של הטופס # m / n # איפה #M# ו # n # הם מספרים שלמים ו #n! = 0 #.

הוא די שמח לפתור פולינומים כמו # 3x + 8 = 0 # ו # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, אבל יש רבים כי חידה אותו.

אפילו פולינום פשוט לכאורה # x ^ 2-2 = 0 # נראה לא יסולא בפז.

שכנתו העשירה, מר ריאל, מרחמת עליו. "מה שאתה צריך זה מה שנקרא שורש ריבועי של #2#. הנה לך." עם המילים האלה, מר ריאל מושיט יד למספר כחול מבריק ומסתורי # R_2 # למר רציונל. כל מה שהוא מספר על זה הוא זה # R_2 ^ 2 = 2 #.

מר רציונל חוזר למחקר שלו ויש לו מחזה עם זה מסתורי # R_2 #.

לאחר זמן מה הוא מוצא שהוא יכול להוסיף, לחסר, להכפיל ולחלק מספרים של הטופס # a + b R_2 # איפה # a # ו # b # הם רציונליים בסופו של דבר עם מספרים של אותו טופס. הוא גם מבחין בכך # x ^ 2-2 = 0 # יש פתרון אחר, כלומר # -R_2 #.

עכשיו הוא מסוגל לפתור לא רק # x ^ 2-2 = 0 #, אבל # x ^ 2 + 2x-1 = 0 # ורבים אחרים.

פולינומים רבים אחרים עדיין להתחמק פתרון. לדוגמה, # x ^ 2-3 = 0 #, אבל מר ריל שמח לתת לו מספר ירוק מבריק שנקרא # R_3 # זה פותר את זה.

מר Rational מגלה עד מהרה כי הוא יכול לבטא את כל המספרים שהוא יכול לעשות כמו # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, איפה # a #, # b #, # c # ו # d # הם רציונליים.

יום אחד מר רציונל יש ללכת על פתרון # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. הוא מוצא את זה # x = R_2 + R_3 # הוא פתרון.

לפני שהוא מחפש פתרונות נוספים, הוא נתקל בשכנו, מר ריאל. הוא מודה למר ריאל על המתנה של # R_2 # ו # R_3 #, אבל יש שאילתה עליהם. "שכחתי לשאול:", הוא אומר, "האם הם חיוביים או שליליים?". "לא חשבתי שיהיה לך אכפת", אמר מר ריאל. "כל עוד אתה פותח פולינומים עם מקדמי רציונלי, זה לא ממש משנה, הכללים שמצאת להוספת, חיסור, הכפלה וחלוקת המספרים החדשים שלך עובדים בדיוק באותה מידה, אני חושב שזה שקוראים לו # R_2 # זה מה שרוב האנשים קוראים # -sqrt (2) # ואת זה קראת # R_3 # זה מה שרוב האנשים קוראים #sqrt (3) #'.

אז למספרים החדשים של מר רציונל של הטופס # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # זה לא משנה אם # R_2 # ו / או # R_3 # הם חיוביים או שליליים מנקודת המבט של פתרון פולינומים עם מקדמי רציונלי.