כיצד אתה משתמש במבחן האינטגרל כדי לקבוע התכנסות או סטייה של הסדרה: סכום n n-n מ n = 1 עד אינסוף?
קח את האינטגרל אינטל + ooxe ^-xdx, שהוא סופי, וציין כי הוא סכום sum_ (n = 2) ^ n n ^ ^ (- n). לכן הוא מתכנס, כך sum_ (n = 1) ^ n n ^ ^ (- n) הוא גם כן. ההצהרה הרשמית של הבדיקה האינטגרלית קובעת שאם סנפיר [0, oo] rightarrowRR פונקצית מונוטוניות הפחתת שאינו שלילי. אז הסכום sum_ (n = 0) ^ oof (n) הוא מתכנס אם ורק אם "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx הוא סופי. (טאו, טרנס, ניתוח ראשון, מהדורה שנייה, סוכנות ספרים הינדוסטית 2009). הצהרה זו אולי נראה קצת טכני, אבל הרעיון הוא הבא. אם ניקח במקרה זה את הפונקציה f (x) = xe ^ (- x), נציין כי עבור x> 1, פונקציה זו יורדת. אנו יכולים לראות זאת על ידי לקיחת הנגזרת. F (x) = e
כיצד לקבוע התכנסות או סטייה של רצף = ln (n ^ 2) / n?
רצף מתכנס כדי לברר אם רצף a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n מתכנס, אנו צופים מה a_n הוא כמו n-> oo. n u003d u003c / b u003e n u003d u003c / b u003e n u003d u003c / b u003e n 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 מאחר ש- lim_ (n-> oo) a_n הוא ערך סופי, רצף מתכנס.
איך אני מוצא את ההתכנסות או סטייה של סדרה זו? סכום 1 עד אינסוף של 1 / n ^ lnn
היא מתכנסת שקול את סדרת הסדרה (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, כאשר p> 1. לפי מבחן p, סדרה זו מתכנסת. עכשיו, 1 / n ^ l n <1 / n ^ p עבור כל גדול מספיק n כל עוד p הוא ערך סופי. לפיכך, על ידי מבחן ההשוואה הישירה, סכום (n = 1) ^ 1 / n ^ n n n מתכנס. למעשה, הערך שווה בערך ל - 2.2381813.