כיצד אתה משתמש במבחן האינטגרל כדי לקבוע התכנסות או סטייה של הסדרה: סכום n n-n מ n = 1 עד אינסוף?

תשובה:

קח את האינטגרל # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, שהוא סופי, וציין כי זה גבולות #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. לכן הוא מתכנס, כך #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # הוא גם.

הסבר:

ההצהרה הרשמית של המבחן האינטגראלי קובעת שאם #fin 0, oo rightarrowRR # הפחתת פונקציית המונוטונים שאינה שלילית. ואז הסכום #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # הוא מתכנס אם ורק אם # "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # הוא סופי. (טאו, טרנס, ניתוח ראשון, מהדורה שנייה, סוכנות ספרים הינדוסטית 2009).

הצהרה זו אולי נראה קצת טכני, אבל הרעיון הוא הבא. אם ניקח במקרה זה את הפונקציה #f (x) = xe ^ (- x) #, נציין כי עבור #x> 1 #, פונקציה זו יורדת. אנו יכולים לראות זאת על ידי לקיחת הנגזרת. # (x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, מאז #x> 1 #, לכן # (1-x) <0 # ו #e ^ (- x)> 0 #.

בשל כך, נציין כי עבור כל #ninNN _ (> = 2) # ו #x ב- 1, oo # # כך ש #x <= n # יש לנו #f (x)> = f (n) #. לכן # n_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, לכן # num (n = 1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# o_1 = (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # באמצעות שילוב על ידי חלקים וכי #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

מאז #f (x)> = 0 #, יש לנו # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, לכן #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. מאז #f (n)> = 0 #, הסדרה #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # הגד # N # מגביר. מאז הוא מוקף על ידי # 3 / e #, הוא חייב להתכנס. לכן #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # מתכנס.