תן V = R3 ו- W = {(x, y, z) x + y + z = 0} להיות תת-מרחב של V. אילו מזוגות הווקטורים הבאים נמצאים באותה התבנית של W ב- V? (i) (1,3,2) ו- (2,2,2) (ii) (1,1,1) ו- (3,3,3).

תשובה:

# #

# mbox {i}} (1,3,2) mbox {ו-} (2,2,2): #

# qquad qquad qquad mbox {לעשות שייכים לאותה התיקייה של W. #

# mbox {ii}} (1,1,1) mbox {ו-} (3,3,3): #

# qquad qquad qquad mbox {לא שייכים לאותה התיקייה של W. #

הסבר:

# #

# mbox {1) שים לב, על-ידי הנתון ב- W, mbox { אנו מתארים} mbox {אלמנטים של} W mbox {כמו אלה של וקטורים של} V mbox {שם} mbox {סכום הקואורדינטות הוא} 0. #

# #

# mbox {2) כעת זכור כי:} #

# mbox {שני וקטורים שייכים לאותה קוזט של כל תת-מקום} #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff #

# qquad mbox {ההבדל שלהם שייך למרחב המשנה עצמו}. #

# #

# mbox {3) לכן, כדי לקבוע את החברות באותה התרעה של W, mbox {יש צורך מספיק כדי לקבוע אם}} mbox {הבדל של אותם וקטורים שייך ל- W:

# qquad vec { v_1}, vec {v_2} in mbox {אותו coset of} W quad iff quad vec {v_1} - vec {v_2} ב- W. #

# #

# mbox {לפיכך, לפי התיאור של} W mbox {ב (1) לעיל, יש לנו:} #

# vec, vec {v_2} in mbox {אותה coset of} W quad iff quad mbox {סכום הקואורדינטות של} (vec {v_1} - vec {v_2}) = 0. #

# #

# mbox {זה עניין של חישוב פשוט זה.} #

# #

# 4) mbox {המשך עם שני זוגות נתון של וקטורים, ו-} mbox {ביצוע חישוב זה על כל זוג, אנו מוצאים: # #

# quad mbox {i}} (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {ולכן}

# qquad qquad mbox {סכום הקואורדינטות של} quad (-1,1,0) = 0. #

# mbox {מכאן:} qquad qquad qquad (1,3,2) mbox {and} (2,2,2) # #

# qquad qquad qquad qquad mbox {שייכים לאותה התיקייה של W. #

# #

# quad mbox {ii}} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {and}}

# qquad qquad mbox {סכום הקואורדינטות של} quad (2,2,2) = 6 ne 0. #

# mbox {heence:} qquad qquad qquad (1,1,1) mbox {and} (3,3,3) #

# qquad quad quad mbox {לא שייכים לאותה התיקייה של W. #