מהו אורך הקשת של r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) על פח [1, ln2]?

תשובה:

אורך קשת #~~ 2.42533 # (5dp)

אורך קשת הוא שלילי בשל הגבול התחתון #1# להיות גדול יותר מאשר הגבול העליון של # ln2 #

הסבר:

יש לנו פונקציה וקטורית פרמטרית, נתון על ידי:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

על מנת לחשב את אורך הקשת נצטרך את הנגזרת הווקטורית, שאותה אנו יכולים לחשב באמצעות כלל המוצר:

# bb ul r '(t) = (t) 2 (t ^ 2) (+ t ^ 2)) (1) (1) (t ^ 2)) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

לאחר מכן אנו מחשבים את גודל הווקטור הנגזר:

# | bb ul r '(t) | = 2 (+ 2 ^ ^ ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# t = 3 + 4 e + (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t (2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

לאחר מכן אנו יכולים לחשב את אורך קשת באמצעות:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

# t 4 = int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

אין זה סביר שנוכל לחשב את האינטגרל הזה באמצעות טכניקה אנליטית, ולכן במקום להשתמש בשיטות נומריות אנו מקבלים קירוב:

# L ~ ~ -2.42533 # (5dp)

אורך קשת הוא שלילי בשל הגבול התחתון #1# להיות גדול יותר מאשר הגבול העליון של # ln2 #