פתרו את השאלה 39?

תשובה:

ב

הסבר:

ראשית, עלינו לנצל את העובדה כי המספרים חייבים להיות רצופים, על ידי קורא את המספרים שאנחנו בוחרים להיות # n-1, n, n + 1 #, שם אם אנו לציית לאילוצים # n # חייב להיות בין #-9# ו #9# כולל.

שנית, שים לב שאם נקבל ערך מסוים מסוים #א ב ג#, אנחנו יכולים להחליף סביב ערכים ספציפיים אלה, אבל עדיין לקבל את אותה תוצאה. (אני מאמין שזה נקרא להיות permutable אבל לשכוח את המונח הנכון)

אז אנחנו יכולים פשוט לתת # a n = 1 #,# b = n #,# c = n + 1 #מינה, entity, # (a + 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3abc) / (+ b + c) ^ 2 #

# (n + 1) ^ 3 + n ^ 3 + (n + 1) ^ 3 + 3 (n-1) (n) (n + 1)) / (n-1 + n + n + 1) ^ 2 #

# (n = 3-3n ^ 2 + 3n-1 + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n ^ 2 + 3n + 1 + 3n (n ^ 2-1)) / (3n) ^ 2 #

# = (n ^ 3 + 3n + n ^ 3 + n ^ 3 + 3n + 3n ^ 3-3) / (9n ^ 2) #

# = (6n ^ 3 + 6n-3) / (9n ^ 2) #

# = (2n ^ 3 + 2n-1) / (3n ^ 2) #

עכשיו הבעיה שלנו הופך להיות לראות מה ערכי # -9 <= n <= 9 # הביטוי נותן ערכים שלמים, כמה ערכים שונים אנו מקבלים.

אני הולך להמשיך את הפתרון תשובה נפרדת רק כדי להקל על הקריאה.

תשובה:

חלק 2 של sol'n שלי. זה יהיה באמצעות חשבון מודולרי, אבל אם אתה לא מכיר את זה אז תמיד יש את האפשרות של subbing בכל הערכים הדרושים של # n #

הסבר:

בגלל הביטוי חייב להיות ערך שלם, התחתון חייב לחלק את הדף בדיוק. לכן, המונה צריך להיות גורם של 3. ועל זה אנחנו צריכים להשתמש בחשבון מודולרי.

בחינה אשר n עונה: # 2n ^ 3 + 2n-1- = 0 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n- = 1 mod3 #

# 2n ^ 3 + 2n - = - 2 mod3 #

# n ^ 3 + n - = - 1 mod3 #

עכשיו casework:

1. אנחנו מנסים # n = 3k #

# LHS = (3k) ^ 3 + 3k #

# = 3 (9k ^ 3 + k) - = 0 mod3 #, וזה לא עובד

2. אנחנו מנסים # n = 3k + 1 #

# LHS = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = (3k + 1) ^ 3 + (3k + 1) #

# = 27k ^ 3 + 27k ^ 2 + 27k + 1 + 3k + 1 #

# - = 2 - = - 1 mod3 #, אשר עובד

3. אנחנו מנסים # n = 3k-1 #:

# LHS = (3k-1) ^ 3 + (3k-1) #

# = 27k ^ 3-27k ^ 2 + 27k-1 + 3k-1 #

#-=-2-=1#, וזה לא עובד

אז אנחנו מסיקים את זה # n # חייב להיות של הטופס # 3k + 1 #, או אחד יותר מכפולה של 3. בהתחשב טווח שלנו n, להיות # -9 <= n <= 9 #, יש לנו את הערכים האפשריים של:

# n = -8, -5, -2,1,4,7 #.

בשלב זה ייתכן שתוכל להשתמש בעובדה # n = 3k + 1 #, אבל רק עם 6 ערכים לבדוק החלטתי במקום לחשב כל אחד במקום זאת, ואת הערך היחיד עבור # n # זה עובד # n = 1 #, לייצר את התוצאה של #1#.

אז בסופו של דבר, רק קבוצה של מספרים רצופים שמייצרת תוצאה שלם הוא #0,1,2#, נותן #1# ומכאן התשובה # B #