חביב לפתור את זה? איזו אפשרות נכונה?

זה נראה בקלות כמו לא ניתן לביצוע על ידי אמצעים בסיסיים, אז אני פשוט לפתור את זה מספרית וקיבלתי:

הערכתי את האינטגרל עבור #n = 1, 1.5, 2,…, 9.5, 10, 25, 50, 75, 100 #. עד אז כבר היה ברור #0.5#.

תשובה:

ראה למטה.

הסבר:

# n_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1 #

# n = 1 (n = 1)) (1 + x ^ 2) dx ge 1/2 int_0 ^ 1n x ^ (n-1) dx = 1/2 #

או

# 1/2 le int_0 ^ 1 (n x ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx le 1 #

עכשיו בהנחה שאחת התשובות נכונה, הכי טבעי נראה הרביעי 4)

הערה

ל #x ב- 0,1 #

# 1/2 le 1 / (1 + x ^ 2) le 1 #

תשובה:

#1/2#

הסבר:

כפי שכבר הוכח בפתרון קודם, #I_n = int_0 ^ 1 (nx ^ (n-1)) / (1 + x ^ 2) dx #

קיים ומוגדר:

# 1/2 le I_n <1 #

עכשיו אינטגרציה על ידי חלקים התשואות

# (1 + x ^ 2) (2) / 1 (+ x ^ 2) (1 + x ^ 2)) dx #

# xquad = (x ^ n / (1 + x ^ 2)) _ 0 ^ 1 + 2int_0 ^ 1 x ^ (n + 1) / (1 + x ^ 2) ^ 2dx #

#qquad = 1/2 + J_n #

עכשיו, מאז # 0 <(1 + x ^ 2) ^ - 1 <1 # in #(0,1)#

# (N + 2) int_0 ^ 1 (n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) ^ 2 dx #

# n / 2) n + 2) int_0 ^ 1 (n + 2) x ^ (n + 1)) / (1 + x ^ 2) dx = 2 / (n + 2) I_ (n + 2)) #

מאז #lim_ (n to oo) I_n # קיים, יש לנו

# (n + 2) = n lim (n to oo) 2 / (n + 2) פעמים lim_ (n to oo) I_ (n + 2) = 0 #

לפיכך

# lim_ (n to oo) I_n = 1/2 #