איך אתם פותרים את האינטגרל הזה?

תשובה:

#int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 #

# 1/4 (ln (x + 1) -ln (x-1) - (2x) / (x ^ 2-1)) + C #

הסבר:

#int ("d" x) / (x ^ 2-1) ^ 2 #

# 2 (x-1) ^ 2 (#

עכשיו, בואו נעשה את החלקים החלקיים. נניח ש

1 (+ 1) + 1 (+ 1) + 2 (x-1) ^ 2) A / x + 1 + -1) ^ 2 #

עבור כמה קבועים #א ב ג ד#.

לאחר מכן, # 1 + A (x + 1) (x-1) ^ 2 + B (x-1) ^ 2 + C (x + 1) ^ 2 (x-1) + D (x + 1) ^ 2 #

הרחב כדי להגיע

# 1 + (+ A + C) x + 3 + (B + C + D-A) x ^ 2 + (2-2B-A-C) x + A + B-C + D #.

מקדמי משוואה:

# (A + C = 0), (B + C + D-A = 0), (2-2B-A-C = 0), (A + B-C + D = 1): #

פתרון נותן # A = B = D = 1/4 # ו # C = -1 / 4 #.

לפיכך, האינטגרל המקורי שלנו הוא

# (1) (4) x (1) + 1 / (4 + x + 1) ^ 2) -1 / (4 (x-1)) 1 / (4 (x-1) ^ 2)) "d" x #

# 1 / 4ln (x + 1) -1 / (4 (x + 1)) - 1 / 4ln (x-1) -1 / (4 (x-1)) + C #

לפשט:

# 1/4 (ln (x + 1) -ln (x-1) - (2x) / (x ^ 2-1)) + C #