גב 'פוקס שאל את הכיתה שלה הוא סכום של 4.2 שורש ריבועי של 2 רציונלי או לא רציונלי? פטריק ענה שהסכום יהיה לא רציונלי. ציין אם פטריק צודק או לא נכון. להצדיק את ההיגיון שלך.

תשובה:

הסכום # 4.2 + sqrt2 # הוא לא הגיוני; הוא יורש את המאפיין העשרוני שאינו חוזר על עצמו #sqrt 2 #.

הסבר:

An מספר לא רציונלי הוא מספר שלא ניתן לבטא כיחס של שני מספרים שלמים. אם מספר הוא לא רציונלי, אז ההתרחבות העשרונית שלה ממשיכה לנצח ללא דפוס, ולהיפך.

אנחנו כבר יודעים את זה #sqrt 2 # הוא לא רציונלי. ההתרחבות העשרונית מתחילה:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

המספר #4.2# J רציונלי; זה יכול לבוא לידי ביטוי #42/10.# כאשר אנו מוסיפים 4.2 להתרחבות העשרונית של #sqrt 2 #, אנחנו מקבלים:

#sqrt 2 + 4.2 = צבע (לבן) + 1.414213562373095 … #

# צבע (לבן) (2) צבע (לבן) + צבע (לבן) (4.2 =) + 4.2 #

# צבע (לבן) (לבן) (לבן) + צבע (לבן) (4.2 =) בר (צבע לבן) (+) 5.614213562373095 …) # #

זה נראה בקלות כי סכום זה גם לא לסיים ולא יש דפוס חוזר, אז זה גם לא רציונלי.

באופן כללי, סכום של מספר רציונלי ומספר לא רציונלי יהיה תמיד לא רציונלי; הטענה דומה לעיל.

תשובה:

#color (כחול) ("נכון") #

הסבר:

אם נתחיל לומר את הסכום הוא רציונלי: כל המספרים רציונליים ניתן לכתוב כמו מנה של שני מספרים שלמים # a / bcolor (לבן) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

תוצר של שני מספרים שלמים הוא מספר שלם:

ההבדל בין שני מספרים שלמים הוא מספר שלם:

לכן:

# 5a-21b # הוא מספר שלם.

# 5b # הוא מספר שלם.

לפיכך:

# (5a-21b) / (5b) # היא רציונלית.

אבל אנחנו יודעים את זה #sqrt (2) # הוא בלתי רציונלי, ולכן זו סתירה מהנחה שלנו שהסכום היה רציונלי, ולכן סכום של מספר לא הגיוני ומספר רציונלי הוא תמיד לא הגיוני.